Математический анализ (Лекция 3)

• Обсуждение односторонних пределов и непрерывности функции.  

• Введение в тему дифференцирования функции одной переменной.  

• Важность понятия непрерывности функции для дифференцирования.  

• Функция непрерывна в точке, если существует предел и значение функции в этой точке.  

• Альтернативное определение: бесконечно малое приращение аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции.  

• Оба определения имеют место и будут использоваться в дальнейшем.  

• Обсуждение односторонних пределов и их значения для дифференцирования.  

• Введение понятия асимптот графика функции.  

• Обещание рассмотреть асимптоты на следующем занятии.  

• Переход от понятия непрерывности к дифференцированию функции.  

• Основное понятие в дифференцировании - производная функции.  

• План изучения дифференцирования и интегрирования.  

• Определение производной функции через графическое представление.  

• Построение графика функции и нахождение точки с координатами x0, y0.  

• Введение приращения аргумента и его влияние на график функции.  

• Построение секущей через точки a и b.  

• Секущая пересекает график функции в двух точках.  

• Приращение аргумента стремится к нулю, но никогда не становится нулевым.  

• Вопрос к студентам о секущей и ее стремлении к графику функции.  

• Призыв к интеллектуальному присутствию студентов в чате.  

• Касательная стремится к секущей при стремлении дельта икс к нулю.  

• Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.  

• Производная функции y = f x в точке x определяется как конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента.  

• Обозначение производной: y' = f x в точке x.  

• Производная - это предельное отношение приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.  

• Определение производной включает использование предела.  

• Стандартное обозначение: y' или f x'.  

• В высшей математике используются обозначения d y/d x и d f x/d x.  

• Важно указывать, по какой переменной находится производная.  

• Обозначения производной включают понятие дифференциала.  

• В будущем будет обсуждаться дифференцирование функций многих переменных.  

• Физический смысл производной: скорость изменения функции в точке.  

• Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке.  

• Угловой коэффициент касательной к графику функции.  

• Применение дифференциального исчисления к практическим вопросам.  

• Основные правила дифференцирования.  

• Константа выносится из-под знака производной.  

• Производная суммы и разности функций.  

• Производная произведения двух функций.  

• Производная частного двух функций.  

• Производная сложной функции.  

• Обозначение переменной при дифференцировании.  

• Пример нахождения производной сложной функции.  

• Примеры реализации правил дифференцирования.  

• Повторение правил дифференцирования.  

• Основные правила дифференцирования.  

• Таблица производных основных функций.  

• Важность знания первых одиннадцати производных наизусть.  

• Производная от переменной равна единице.  

• Производная от константы равна нулю.  

• Производная от степенной функции: степень выносится как множитель, от степени отнимается единица.  

• Производная от экспоненты: экспонента в степени икс.  

• Производная от показательного выражения: а в степени икс умножить на натуральный логарифм икс.  

• Производная от натурального логарифма: единица, деленная на икс.  

• Производные синуса, косинуса, тангенса и котангенса.  

• Производные обратных тригонометрических функций: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.  

• Понятие дифференциала функции.  

• Определение дифференциала: приращение ординаты точки, лежащей на касательной.  

• Приближенное равенство дифференциала и приращения функции.  

• Примеры вычисления производных.  

• Пример с произведением функций: икс в пятой степени умножить на косинус икс.  

• Применение правил дифференцирования для произведения функций.  

• Рассматривается сложная функция, состоящая из натурального логарифма, косинуса в квадрате и икс куб плюс пять икс.  

• Функция не очень сложная, но требует внимательного вычисления производной.  

• Важно определить внешнюю функцию для нахождения производной.  

• Сначала берется производная от внешней функции, затем углубляются внутрь.  

• Пример: нахождение значения функции в точке икс равном единице.  

• Производную нужно брать в обратном порядке: сначала натуральный логарифм, затем косинус в квадрате и икс куб плюс пять икс.  

• Берется производная от натурального логарифма, который равен единице, деленной на выражение под логарифмом.  

• Производная от косинуса в квадрате равна минус синусу, умноженному на икс куб плюс пять икс.  

• Производная от суммы равна сумме производных слагаемых.  

• Сокращение косинуса в числителе и знаменателе.  

• Использование тригонометрических выражений для упрощения.  

• Упрощение выражения до минус шести икс квадрат минус десять умножить на тангенс икс куб плюс пять икс.  

• Алгоритм логарифмического дифференцирования: нахождение натурального логарифма функции, затем производной от натурального логарифма.  

• Пример: функция игрек равняется икс степени икс.  

• Применение алгоритма для нахождения производной функции.  

• Функция неоднозначна, так как содержит икс в основании и в степени.  

• Применяем логарифмическое дифференцирование: находим натуральный игрек.  

• Натуральный игрек равен икс умножить на натуральный икс.  

• Находим натуральный игрек, используя свойства логарифмов.  

• Берем производную от натурального игрека: икс умножить на натуральный икс плюс икс умножить на производную от натурального икса.  

• Натуральный игрек равен игрек штрих разделить на икс.  

• Логарифмическое дифференцирование применяется к функциям, которые нельзя отнести к степенным или показательным.  

• Алгоритм применим для сложных и интересных функций.  

• Неявные функции не могут быть представлены в явном виде.  

• Для дифференцирования неявных функций нужно дифференцировать обе части уравнения и разрешить равенство относительно игрек-штрих.  

• Пример: икс квадрат, деленное на а квадрат минус игрек квадрат, деленное на б квадрат равно единице.  

• Дифференцируем обе части уравнения по иксу.  

• Выносим константы а и б, оставляя производную от икс квадрат.  

• Важно правильно дифференцировать: д икс д- игрек или д игрек д- икс.  

• В некоторых заданиях может потребоваться найти производную икс штрих.  

• Дифференцируем по иксу обе части уравнения, выносим константы и находим производную от икс квадрат.