Алгебра 10 класс (Урок № 19 - Равносильные уравнения и неравенства.

• Два уравнения с одной переменной называются равносильными, если они имеют одинаковые корни или не имеют корней.  

• Примеры равносильных уравнений: 4x - 3 = 2x + 3 и 2x = 6, x - 2x + 5 = x^2 + 3x - 10.  

• Примеры неравносильных уравнений: 3x = 6 и 4x^2 = 16.  

• Решение уравнения включает три этапа: технический, анализ и проверка.  

• Технический этап: преобразование уравнения для нахождения корней.  

• Анализ: проверка равносильности преобразований.  

• Проверка: подстановка найденных корней в исходное уравнение.  

• Перенос члена уравнения с изменением знака.  

• Умножение или деление обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.  

• Уравнение называется следствием другого, если все корни первого уравнения являются корнями второго.  

• Важно не терять корни при преобразовании уравнений.  

• Появление посторонних корней при умножении на выражение, содержащее неизвестное.  

• Пример: уравнение x - 1 = 3 имеет корень x = 4, но после умножения на x - 2 появляется корень x = 2.  

• Область определения уравнения ОДЗ.  

• Теорема 1: перенос члена уравнения с противоположным знаком делает уравнение равносильным.  

• Теорема 2: возведение обеих частей уравнения в нечетную степень делает уравнение равносильным.  

• Теорема 3: показательное уравнение равносильно исходному.  

• Теорема 4: умножение обеих частей уравнения на выражение, не обращающее уравнение в ноль, делает уравнение равносильным в ОДЗ.  

• Следствие: умножение или деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число делает уравнение равносильным.  

• Теорема 5: возведение обеих частей уравнения в четную степень делает уравнение равносильным в ОДЗ.  

• Неравенства с одинаковым множеством решений называются равносильными.  

• Пример равносильных неравенств: x - 3 / x^2 + 1 < 0 и x - 3 < 0.  

• Пример неравносильных неравенств: 2x / x - 1 > 1 и 2x > x - 1.  

• При решении неравенств обычно преобразуют их в равносильные.