Парабола, эллипс, гипербола - уравнение при вершине

• Задача о нахождении высоты прямоугольника, где заданный отрезок является основанием, а площадь прямоугольника равна площади квадрата.  

• Определение параболы, эллипса и гиперболы: геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки (фокуса) и прямой (директрисы).  

• Каноническая система координат для параболы: фокальная ось от фокуса до директрисы, ось игрек - середина отрезка и перпендикулярно фокальной оси.  

• Уравнение параболы: y² = 2px.  

• Каноническая система координат для эллипса: фокальная ось от фокусов до директрисы, ось игрек - середина отрезка и перпендикулярно фокальной оси.  

• Уравнение эллипса: x²/a² + y²/b² = 1.  

• Каноническая система координат для гиперболы: фокальная ось от фокусов до директрисы, ось игрек - середина отрезка и перпендикулярно фокальной оси.  

• Уравнение гиперболы: x²/a² - y²/b² = 1.  

• Вводятся директрисы для параболы, эллипса и гиперболы.  

• Определение для любой из этих кривых: р/дельта = е, где е - эксцентриситет.  

• Для параболы е = 1, для эллипса 0 < е < 1, для гиперболы е > 1.  

• В случае эллипса и гиперболы, директриса - это прямая, перпендикулярная фокальной оси и отстоящая от центра на расстоянии, равном е.  

• Для эллипса, е меньше единицы, для гиперболы - больше единицы.  

• Расстояние между фокусом и директрисой равно б²/еа, где б - фокальный параметр, а е - эксцентриситет.  

• Для эллипса и гиперболы это расстояние одинаково.  

• Для эллипса, можно найти фокус и директрису, используя основной прямоугольник и теорему Пифагора.  

• Для гиперболы, можно построить директрису, используя касательную к окружности и угол пси.  

• Вводится понятие гиперболы и эллипса, их основные характеристики и свойства.  

• Показывается, как построить директрису гиперболы и абсциссу директрисы эллипса.  

• Выводятся канонические уравнения эллипса и гиперболы, основанные на геометрическом определении.  

• Показано, что эти уравнения не зависят от системы координат.  

• Предлагается показать, что для любой точки на плоскости и прямой, не проходящей через эту точку, существует гипербола или эллипс, удовлетворяющие определенным условиям.  

• Вводятся кривые, удовлетворяющие соотношению расстояния от них до фиксированной точки, деленное на расстояние до прямой, равно постоянному числу.  

• Это определение не зависит от выбора системы координат и характеризует кривые: эллипс, гипербола и парабола.  

• Вводится система координат, в которой начало находится в вершине кривой.  

• Уравнение при вершине, которому удовлетворяют эллипс, гипербола и парабола, имеет общий вид.  

• Фокальный параметр равен расстоянию от фокуса до директрисы, умноженному на эксцентриситет кривой.  

• Это свойство верно для всех трех кривых: эллипса, гиперболы и параболы.  

• В случае эллипса, новая координата игрек новая равна старой игрек минус а.  

• В случае гиперболы, новая координата игрек новая равна старой игрек минус а.  

• В новой системе координат уравнение эллипса имеет вид игрек квадрат равняется единица минус икс минус а в квадрате делить на квадрат б.  

• Уравнение гиперболы имеет вид игрек квадрат равняется два п икс плюс икс квадрат, где ку равняется е квадрат минус один.  

• Уравнение параболы имеет вид игрек квадрат равняется два п икс плюс икс квадрат, где ку равняется нулю.  

• В системе координат с одним и тем же фокальным параметром, все три кривые имеют одно и то же уравнение.  

• Для параболы ку равно нулю, для гиперболы ку положительно, для эллипса ку отрицательно.  

• Парабола - приложение отрезка к квадрату.  

• Гипербола - избыточный квадрат.  

• Эллипс - недостаточный квадрат.