8 задание ЕГЭ профиль 2024. График функции и ее производной, их взаимосвязь. Подробный разбор всех типов задания

• Видео посвящено графикам производной и первообразной функции.  

• Теория: график обычной функции и график производной.  

• Убывание функции соответствует отрицательной производной, возрастание - положительной.  

• Точки перегиба: переход с убывания на возрастание и наоборот.  

• Точки экстремума: максимум и минимум.  

• Определение максимума и минимума по знаку производной.  

• Задание: определить количество точек, где производная отрицательна.  

• Нахождение точек на промежутках убывания обычной функции.  

• Пример: шесть точек из десяти лежат на промежутках убывания.  

• Пример: нахождение производной от функции y = x^5.  

• Усложнение: нахождение производной от функции y = 3x^2 + 2x - 9.  

• Пример: нахождение производной от функции y = 1/3x^3 + 5x^2 - 2x + 18.  

• Задание: найти абсциссу точки, где касательная параллельна прямой y = x - 2.  

• Нахождение производной функции y = x - 2.  

• Пример: абсцисса точки пересечения равна 3.  

• Задание: определить, сколько точек лежит на промежутках возрастания функции.  

• Определение возрастания функции по знаку производной.  

• Пример: три точки из девяти лежат на промежутках возрастания.  

• На графике производной функции от -18 до 6 нужно найти количество точек минимума на отрезке от -13 до 1.  

• Ограничиваем интервал до -13 до 1, так как нас интересует только этот промежуток.  

• Находим точки минимума, где производная меняет знак с отрицательного на положительный.  

• В данном случае есть только одна точка минимума, что соответствует одному ответу.  

• Находим значение производной функции в точке x0.  

• Используем формулу для нахождения производной через тангенс угла наклона.  

• Формула: y1 - y2 / x1 - x2.  

• Пример: y1 = 1, y2 = -2, x1 = 1, x2 = -5.  

• Подставляем значения и получаем ответ: 0.5.  

• Находим значение производной в точке x0, используя целые значения координат.  

• Пример: x1 = 2, y1 = 7, x2 = -4, y2 = 4.  

• Подставляем значения в формулу и получаем ответ: 0.5.  

• Проверяем формулу для производной на убывающей прямой.  

• Пример: x1 = -6, y1 = 1, x2 = -2, y2 = -5.  

• Подставляем значения и получаем отрицательный ответ: -1.5.  

• Находим количество точек, где производная функции равна нулю.  

• Вспоминаем, что производная равна нулю в точках перегиба и экстремума.  

• На графике семь точек перегиба, что соответствует правильному ответу.  

• Находим количество точек минимума функции на отрезке от -14 до 4.  

• Определяем значения, которые не входят в промежуток.  

• Ответ: 4 точки минимума.  

• Переход от отрицательного значения производной к положительному указывает на точку минимума.  

• В точке -4 производная меняет знак с минуса на плюс, что подтверждает наличие минимума.  

• Всего две точки минимума: -4 и 4.  

• Функция убывает на всем промежутке от -1 до 4.  

• Наименьшее значение функции будет в крайней точке 4.  

• Ответ: наименьшее значение функции на интервале от -1 до 4 равно 4.  

• Переход от минуса к плюсу указывает на точку минимума.  

• В отрезке от -8 до 5 две точки минимума: -8 и 5.  

• Производная положительна на промежутках возрастания функции.  

• Из десяти точек четыре лежат на промежутках возрастания, где производная положительна.  

• Производная отрицательна на промежутках убывания функции.  

• Из девяти точек пять лежат на промежутках убывания, где производная отрицательна.  

• Производная больше нуля на промежутках возрастания функции.  

• Из целых точек четыре лежат на промежутках возрастания, где производная больше нуля.  

• На рисунке изображен график функции y = f'(x).  

• Найдите количество точек, в которых график функции параллелен или совпадает с прямой y = 3x.  

• Для работы с прямой y = 3x нужно взять от нее производную.  

• Производная от y = 3x равна 3, что позволяет построить горизонтальную прямую.  

• Количество точек пересечения производной с графиком функции равно одной.  

• Материальная точка движется по закону x = 6t^2 - 48t + 17.  

• Найдите скорость точки в момент времени t = 9 секунд.  

• Ошибка: подставлять t = 9 сразу в уравнение.  

• Скорость точки равна производной, поэтому нужно взять производную от уравнения.  

• Производная равна 12t - 48, подставляем t = 9: 12 * 9 - 48 = 60.  

• Материальная точка движется по закону x = 1/3t^3 - 3t^2 - 5t + 3.  

• Найдите момент времени, когда скорость равна 2 м/с.  

• Скорость равна производной, поэтому берем производную от уравнения.  

• Получаем уравнение: t^2 - 6t - 5 = 2.  

• Решаем уравнение через дискриминант: t = 7.  

• Вопросы можно задавать в комментариях.  

• Подписывайтесь на канал, ставьте лайки и оставляйте комментарии.  

• Индивидуальные занятия для подготовки к экзамену.  

• Контакты в описании к видео.