Математический анализ. Сеченовский университет. Лекция 9. Предел, непрерывность и типы разрывов.

• Предел функции по Гейне: функция имеет предел в точке, если любая последовательность, стремящаяся к этой точке, переходит в последовательность, стремящуюся к пределу функции.  

• Определение предела по Коши: предел функции в точке равен значению функции, если для любого эпсилон существует дельта, что при икс, отличающемся от икс0 меньше, чем на дельта, функция отличается от значения меньше, чем на эпсилон.  

• Непрерывность: предел функции совпадает со значением функции, что позволяет переставлять местами функцию и предел.  

• В большинстве случаев достаточно рассматривать непрерывные функции.  

• Разрывные функции важны для описания катастроф и резких изменений, таких как ударные волны.  

• Современная физика использует абстрактные функции, что связано с эффектами квантовой механики.  

• Примеры разрывных функций: сигнум и сигнум в квадрате.  

• Введение в модифицированные пределы и окрестности точек.  

• Окрестности точек: проколотая окрестность, окрестность бесконечности, объединение двух лучей для бесконечности.  

• Непрерывность суммы, разности, произведения, умножения на число и деления функций.  

• Лемма о знаке: если функция положительна или отрицательна в точке, то она будет положительной или отрицательной вблизи этой точки.  

• Теорема о композиции функций: если функции непрерывны в своих точках, то их композиция также непрерывна.  

• Доказательство по Гейне: последовательность Гейна для точки а и последовательность Гейна для точки б.  

• Пример композиции функций: синус от икс квадрат.  

• Суть доказательства: показать, что композиция двух непрерывных функций также непрерывна.  

• Для тех значений, для которых эф равняется б, ж от эф равняется ж от б.  

• Для остальных значений, стремящихся к б, но не равных б, ж от эф стремится к ж от б.  

• Это определение Гейна, которое утверждает, что ж от эф непрерывно.  

• Предел функции в точке бесконечности определяется аналогично.  

• Для любой последовательности, стремящейся к бесконечности, функция должна стремиться к определенному числу.  

• Определение Гейна для бесконечных пределов аналогично определению для конечных пределов.  

• Левая и правая дельта-окрестности точки а.  

• Левый предел функции при стремлении к а: для любого эпсилон больше нуля, найдется левая проколотая окрестность, где ж от икс находится вблизи с.  

• Правый предел функции при стремлении к а: аналогично для правой проколотой окрестности.  

• Для существования предела функции в точке а необходимо и достаточно, чтобы существовали левый и правый пределы, которые совпадают с этим значением.  

• Это следует из определений и является логической задачей для понимания.  

• Устранимый разрыв: предел функции совпадает слева и справа, но не совпадает с значением функции в точке.  

• Разрыв первого рода: предел функции совпадает слева, но не совпадает справа.  

• Бесконечный разрыв: оба предела функции бесконечны.  

• Разрыв второго рода: хотя бы один предел не существует или равен бесконечности.  

• Устранимый разрыв: предел функции совпадает слева и справа, но не совпадает с функцией в точке.  

• Разрыв первого рода: пределы функции совпадают слева и справа, но не совпадают с функцией в точке.  

• Разрыв второго рода: хотя бы один предел не существует или равен бесконечности.  

• Бесконечный разрыв: оба предела функции бесконечны.  

• Многочлены и рациональные функции непрерывны всюду, где они определены.  

• Произведение и сложение непрерывных функций также непрерывно.  

• Рациональные функции могут иметь предел в точке, где знаменатель обращается в ноль.  

• Тригонометрические функции непрерывны всюду, где они определены.  

• Предел отношения двух многочленов может быть конечным или бесконечным в точке, где знаменатель обращается в ноль.  

• Примеры и доказательства непрерывности тригонометрических функций.  

• Модуль синуса меньше или равен модулю аргумента.  

• Разность синусов можно оценить через косинус полуразности и косинус полусуммы.  

• Косинус всегда меньше или равен единице, а синус по модулю меньше аргумента.  

• Модуль разности синуса и синуса меньше или равен аргументу, что доказывает непрерывность синуса.  

• Косинус можно свести к синусу через формулу приведения.  

• Синус и косинус непрерывны, поэтому косинус также непрерывен.  

• Тангенс и котангенс непрерывны, если косинус не обращается в ноль.  

• Показательная функция экспоненциальна и монотонно возрастает при больших единице.  

• Логарифм и степенная функция с произвольным показателем непрерывны.  

• Степенная функция определяется как композиция непрерывных функций.  

• Степень с произвольным показателем определяется через произведение экспоненты и логарифма.  

• Для положительных степеней предел при икс стремящемся к нулю справа равен нулю.  

• Для отрицательных степеней предел в нуле равен плюс бесконечности, а предел в бесконечности равен нулю.  

• Определение степени с натуральным показателем через перемножение.  

• Определение степени с произвольным показателем через произведение экспоненты и логарифма.  

• Это позволяет доопределить функцию для произвольного показателя, включая дробные значения.  

• Ранее степень была определена только для натуральных чисел.  

• Теперь степень определяется для всех значений параметра п.  

• Используется равенство для определения степени через логарифм.  

• Логарифм не определен для отрицательных чисел.  

• Возведение отрицательных чисел в степень приводит к комплексным числам.  

• Определение логарифма для отрицательных чисел неоднозначно.  

• Ноль в степени п определяется по-разному в зависимости от знака п.  

• Для положительных п ноль в степени п равен нулю.  

• Для отрицательных п ноль в степени п равен плюс бесконечности.  

• Предел при икс стрелка ноль один плюс икс в степени единицы на икс равен е.  

• Предел при икс стрелка бесконечность один плюс единица на икс степени икс равен е.  

• Разница между определением и доказательством второго замечательного предела.  

• Доказательство второго замечательного предела будет рассмотрено на следующей лекции.  

• Вопросы по лекции можно задать после остановки записи.