Алгебра 2. Лекция 4. Городенцев А. Л.

• Рассматривается линейное отображение из многочленов степени меньше м и многочленов степени меньше э, которые отправляют пару аш один аш два в аш один плюс жажд два.  

• Доказывается, что общий корень существует, если определитель матрицы с равен нулю.  

• Рассматривается кольцо многочленов и элементарные симметрические многочлены от корней альфа один, альфа два и бета один, бета два.  

• Доказывается равенство, что определитель матрицы с делится на произведение альфа минус бета по всем и.  

• Выделяется частное и результат, которые делятся на альфа в степени м и бм в степени м.  

• Понимание лексикографического порядка и устройства старшего манона.  

• Определитель матрицы равен произведению разности корней и степени старшего коэффициента.  

• Определитель равен нулю, если хотя бы одна из его строк или столбцов содержит только нули.  

• Пара (V, F) называется пространством с оператором, где V - векторное пространство, а F - линейный оператор.  

• Гомоморфизм пространства с операторами - это отображение, которое сохраняет действие операторов.  

• Пространство с оператором разложимо, если оно является прямой суммой двух подпространств с операторами.  

• Неприводимое пространство с оператором - это пространство, которое не разложимо.  

• Пример неприводимого пространства с оператором - одномерное пространство, умножение на класс.  

• В видео обсуждается неразложимое пространство с операторами, которое может быть конечным или бесконечным.  

• Утверждается, что в любой размерности пространства есть неразложимое, но приводимое подпространство.  

• Пространство с операторами можно описать как модули над кольцом многочленов.  

• Разложение в прямую сумму двух модулей соответствует разложению в прямую сумму двух операторов.  

• Элементарные делители оператора - это простые многочлены, которые делят его.  

• Инвариантные множители оператора - это простые многочлены, которые делят его и не делятся на другие простые многочлены.  

• Неразложимое пространство с операторами исчерпывается операторами умножения на т о кт по степени.  

• Два оператора подобны только тогда, когда у них одинаковые элементарные делители.  

• Для нахождения инвариантных множителей матрицы Т-Ф, нужно найти матрицу Т-Ф и найти ее инвариантные множители.  

• Один из способов - метод Гаусса для приведения матрицы к диагональному виду и нахождения инвариантных множителей.  

• Другой способ - найти наибольший общий делитель всех миноров матрицы.  

• В результате теоремы Фробениуса, инвариантные множители матрицы Т-Ф равны: (1/d) и (1/d), где d - наибольший общий делитель всех миноров матрицы.  

• Доказательство теоремы начинается с того, что столбцы матрицы Т-Ф лежат в ядре.  

• Затем автор объясняет, что если какой-то столбец матрицы Т-Ф лежит в ядре, то он линейно выражается через другие столбцы.  

• В заключение, автор предлагает идею для следующего занятия, связанную с делением многочлена на матрицу Т-Ф.