25.09.23 Дифференциальные уравнения | 3 семестр | 4 лекция

• Обсуждение теоремы об общем решении однородного уравнения.  

• Введение в теорию для уравнений общего порядка.  

• Напоминание о линейной зависимости и независимости функций.  

• Определение линейной зависимости и независимости функций.  

• Пример с функциями y1, y2, y3, y4.  

• Пример с функциями y1, y2, y3, y4, где y1 и y2 линейно зависимы.  

• Пример с функциями x^k, x^l, x^m, где k, l, m - различные числа.  

• Вопрос о линейной зависимости или независимости этих функций.  

• Обсуждение и доказательство независимости функций.  

• Введение понятия определителя Вронского.  

• Пример построения определителя Вронского для системы функций.  

• Доказательство линейной независимости функций через определитель Вронского.  

• Введение теоремы о существовании фундаментальной системы решений для линейного однородного дифференциального уравнения.  

• Доказательство теоремы через задачи Каши.  

• Пример задач Каши для функций y1, y2, y3, y4.  

• Определение линейной зависимости и независимости функций.  

• Пример с линейными комбинациями функций y1, y2, y3, y4.  

• Вывод о линейной независимости функций y1, y2, y3, y4.  

• Фундаментальная система решений существует, что позволяет использовать теоремы.  

• Вводится определитель Вронского.  

• Определитель Вронского - это матрица, составленная из функций.  

• Производная определителя Вронского равна нулю для всех порядков.  

• Определитель Вронского можно представить как линейную комбинацию.  

• Последняя строчка матрицы Вронского выражается через производные.  

• Формула Остроградского-Лиувилля позволяет интегрировать дифференциальные уравнения.  

• Применяется для понижения порядка уравнения и нахождения решения.  

• Решение линейного неоднородного уравнения состоит из решения однородного уравнения и частного решения.  

• Метод вариации произвольной постоянной используется для нахождения частного решения.  

• Решение ищется в виде линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений.  

• Коэффициенты комбинации являются функциями, а не константами.  

• Пример уравнения второго порядка с решениями однородного уравнения.  

• Решение ищется в виде линейной комбинации с функциями в качестве коэффициентов.  

• Условия для нахождения функций ц определяются из дифференцирования.  

• Подстановка в дифференциальное уравнение позволяет найти функции ц.  

• Проверка правильности выписывания производных.  

• Указание на ошибки и их исправление.  

• Выделение однородного уравнения.  

• Функции y1 и y2 удовлетворяют однородному уравнению.  

• Получение системы из двух уравнений для двух неизвестных функций.  

• Запись системы уравнений.  

• Определение линейной неоднородной системы.  

• Условия существования и единственности решения.  

• Определение определителя системы.  

• Условие существования и единственности решения.  

• Применение метода для уравнений второго порядка.  

• Применение метода для уравнений любого порядка.  

• Запись системы уравнений для произвольного уравнения.  

• Упоминание фундаментальной системы решений.  

• Пример решения дифференциального уравнения.  

• Запись системы уравнений и нахождение функций.  

• Интегрирование системы уравнений.  

• Получение общего решения линейного неоднородного уравнения.  

• Подведение итогов и приглашение к практике.  

• Указание на возможные ошибки и их исправление.