Лекция №14 "Электричество и магнетизм" (Попов П.В.): Уравнения Максвелла

• Лекция посвящена ключевым уравнениям электромагнетизма.  

• Планируется завершить систему уравнений и перейти к прикладным темам.  

• Основные темы: электрические цепи, колебания, спектры.  

• Получение основной системы уравнений Максвелла.  

• Обзор уравнений, полученных ранее.  

• Исправление последнего уравнения.  

• Теорема Гаусса в интегральной и дифференциальной формах.  

• Закон электромагнитной индукции в интегральной и дифференциальной формах.  

• Закон Ампера в интегральной и дифференциальной формах.  

• Опыт с электромагнитным полем и его характеристиками.  

• Описание эксперимента с камерой и медным купоросом.  

• Демонстрация влияния магнитного и электрического полей на жидкость.  

• Иллюстрация момента импульса электромагнитного поля.  

• Интерпретация через силу Ампера и ток.  

• Возвращение к уравнениям и необходимость последнего уравнения.  

• Обсуждение недостающего уравнения в системе.  

• Экспериментальный факт отсутствия магнитных зарядов.  

• Уравнение взаимного действия и его интерпретация.  

• Примеры переменного электрического поля и его влияния на магнитное поле.  

• Пример с разомкнутой цепью и током.  

• Применение теоремы о циркуляции в статике.  

• Проблемы с универсальностью уравнения для любой поверхности.  

• Необходимость исправления уравнения для корректного описания.  

• Пример с конденсатором и переменным электрическим полем.  

• Закон сохранения заряда - фундаментальный закон природы.  

• В ядерных взаимодействиях заряд всегда сохраняется.  

• Уравнение непрерывности заряда в дифференциальной форме.  

• Дивергенция ротора равна нулю.  

• Закон сохранения заряда выполняется только в статике.  

• Для динамики нужно добавить слагаемое для универсального закона.  

• В диэлектрике нужно добавить производную стороннего заряда.  

• Дивергенция от чего-то должна быть равна минус-минус.  

• Ток смещения порождает магнитное поле.  

• Максвелл описывал мир как упругую среду.  

• Уравнения Максвелла были переписаны Лоренцем.  

• Ток смещения необходим для сохранения заряда.  

• Переменное электрическое поле порождает магнитное поле.  

• Ток смещения включает производную поляризации по времени.  

• Поляризационный ток - это ток за счет переполяризации зарядов.  

• Уравнения Максвелла - фундаментальные законы природы.  

• Дифференциальная форма: дивергенция д равна четырем пи.  

• Интегральная форма: интеграл по замкнутой поверхности равен четырем пи.  

• Теорема Гаусса для магнитного поля: интеграл от бдс равен нулю.  

• Дивергенция б равна нулю, скачок нормальных компонентов равен нулю.  

• Экспериментальное подтверждение: нейтральность атомов.  

• Циркуляция электрического поля по замкнутому контуру равна минус поток производной магнитного поля по поверхности.  

• Важно, с какой стороны ставятся кружочки в интегралах.  

• В дифференциальном пределе циркуляция стремится к ротору минус единица на ц дб пдт.  

• Граничные условия для электрического поля: скачок равен нулю.  

• Вклад правого слагаемого стремится к нулю при стремлении ширины контура к нулю.  

• Новое уравнение: циркуляция магнитного поля равна четырем пи на ц полный ток через поверхность плюс ток смещения единицы на ц.  

• Дифференциальная форма: ротор аш равен четырем пи на ц жи плюс единицы на ц д пдт.  

• Граничные условия на вектор аш: токи сторонние, векторно на нормально.  

• Появление дополнительных слагаемых не влияет на вывод граничных условий.  

• Закон сохранения заряда является следствием уравнений Максвелла.  

• Уравнение поля связывает мир полей с миром частиц через силу взаимодействия.  

• Сила Лоренца: производная импульса по времени равна заряд на электрическое поле плюс единица на ц скорость на б.  

• Материальные уравнения связывают величины д, аш, б, ж и е.  

• Эти уравнения не столь фундаментальны, как уравнения Максвелла.  

• Простейший вид материальных уравнений представлен на слайде.  

• Конденсатор с круглыми пластинами и изменяющимся зарядом.  

• Переменное электрическое поле создает переменное магнитное поле.  

• Ток смещения создает круговое магнитное поле, которое можно найти с помощью теоремы о циркуляции.  

• Магнитное поле в конденсаторе мало по сравнению с электрическим, когда омега р на два ц много меньше единиц.  

• Это условие можно переписать как цт много меньше ой.  

• Скорость электромагнитных волн ц.  

• Расстояние, пройденное волной за время изменений параметров системы, должно быть много больше размеров системы.  

• Магнитное поле мало, если волна распространяется мгновенно.  

• При скорости света, стремящейся к бесконечности, ток смещения пренебрежимо мал.  

• Можно использовать метод последовательных приближений.  

• Переменное магнитное поле создает переменное электрическое поле.  

• Переменное магнитное поле создает вертикальное электрическое поле.  

• Поправка к электрическому полю мала по сравнению с основным полем.  

• Условие малости позволяет пренебречь магнитным полем и электромагнитной индукцией.  

• Условие квазистационарности: переменное поле зависит от времени, но остальные величины считаются стационарными.  

• При нарушении условия квазистационарности нужно решать полную систему уравнений.  

• Конденсатор превращается в излучатель электромагнитных волн.  

• Переменное магнитное поле в катушке создает переменное электрическое поле.  

• Электрическое поле циркулярное внутри катушки.  

• Условие квазистационарности позволяет пренебречь электрическим полем.  

• Переменное электрическое поле создает поправку к магнитному полю.  

• Поправка мала по сравнению с основным магнитным полем.  

• Эти результаты будут использоваться на ближайших лекциях для цепей электрического тока.  

• Электрические и магнитные явления были найдены экспериментально и описаны уравнениями.  

• Максвелл ввел слагаемое, которое никто не мог экспериментально подтвердить.  

• Герц доказал существование этого слагаемого, что привело к открытию электромагнитных волн.  

• Обсуждение энергии и импульса электромагнитного поля.  

• Введение в теорему Пойнтинга.  

• Формула энергии электромагнитного поля включает электрическую и магнитную энергии.  

• Пример частного случая формулы для электрического и магнитного полей.  

• Линейная пропорциональность между векторами и их компонентами.  

• Работа источника для конденсатора и катушки.  

• Закон сохранения энергии как базовый принцип.  

• Поиск выражения для энергии, чтобы она сохранялась.  

• Производная электромагнитной плотности энергии по времени.  

• Подстановка выражений из уравнений Максвелла.  

• Введение вектора Пойнтинга.  

• Уравнение непрерывности электромагнитной энергии.  

• Поток электромагнитной энергии через поверхность.  

• Интегральная форма уравнения и закон сохранения энергии.  

• Обсуждение теоремы Пойнтинга и вектора Пойнтинга на следующей лекции.  

• Энергия поля переносится с места на место, что соответствует существованию импульса.  

• Импульс поля можно определить как вектор Пойнтинга, деленный на скорость света.  

• Доказательство этого утверждения требует рассмотрения уравнений движения частиц и их взаимодействия с полем.  

• Электромагнитное поле может иметь момент импульса.  

• В опыте с радиальным электрическим и перпендикулярным магнитным полем вектор Пойнтинга направлен по кругу.  

• Это указывает на наличие момента импульса у электромагнитного поля.  

• Опыт демонстрирует возникновение динамики электромагнитных полей.  

• Используется высокочастотный генератор и конденсатор для создания переменного тока.  

• Лампочка загорается из-за электромагнитной индукции и тока смещения.  

• Газоразрядная трубка светится под действием переменных электромагнитных полей.  

• Переменный ток проходит через конденсатор, создавая напряжение на контуре.  

• Лампочка загорается из-за электромагнитной индукции и тока смещения.