Лекция 23. Симметрические многочлены

• Рассматриваются многочлены от нескольких переменных.  

• Определяются симметрические многочлены, которые не меняются при перестановке переменных.  

• Пример: многочлен от четырех переменных не является симметрическим.  

• Константы являются симметрическими многочленами.  

• Степенные суммы также являются симметрическими многочленами.  

• Элементарные симметрические многочлены: сумма произведений выбранных переменных.  

• k-й элементарный симметрический многочлен: сумма произведений k переменных.  

• Примеры: первый элементарный симметрический многочлен равен сумме всех переменных, второй элементарный симметрический многочлен равен сумме попарных произведений переменных.  

• k-й элементарный симметрический многочлен при k больше n равен нулю.  

• Сумма, разность и произведение симметрических многочленов также являются симметрическими.  

• Множество симметрических многочленов замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.  

• Это подкольцо в кольце всех многочленов от n переменных.  

• Можно строить новые примеры симметрических многочленов, складывая, вычитая и перемножая уже имеющиеся.  

• Теорема Виета утверждает, что для многочлена от одной переменной с n корнями, значения элементарных симметрических многочленов от корней выражаются через коэффициенты многочлена.  

• Формулы Виета обобщают формулу Виета для корней квадратного трехчлена.  

• Доказательство теоремы Виета заключается в раскрытии скобок и приведении подобных членов.  

• Теорема Виета применима к многочленам, которые имеют столько корней, какова их степень.  

• Над полем комплексных чисел любой многочлен имеет столько корней, какова его степень.  

• Теорема Виета применима к любым многочленам над алгебраически замкнутым полем.  

• Любой симметрический многочлен можно выразить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов единственным способом.  

• Степень многочлена, выражающего симметрический многочлен, равна степени многочлена по любой переменной.  

• Кольцо симметрических многочленов является подкольцом в кольце всех многочленов от n переменных.  

• Кольцо симметрических многочленов состоит из многочленов от сигма один и так далее сигма н.  

• Любой элемент этого кольца выражается единственным способом через многочлены от этих переменных.  

• Основная теорема о симметрических многочленах утверждает, что любой симметрический многочлен можно выразить через элементарные симметрические многочлены.  

• Первая степенная сумма: икс один плюс икс два плюс икс н.  

• Вторая степенная сумма: икс один в квадрате плюс икс два в квадрате плюс икс н в квадрате.  

• Выражение второй степенной суммы через элементарные симметрические многочлены: сигма один в квадрате минус два сигма два.  

• Доказательство состоит из трех частей: существование выражения, его единственность и доказательство про степень.  

• Разложение многочлена на однородные компоненты: ф ноль, ф один и так далее.  

• Все однородные компоненты симметрического многочлена также являются симметрическими многочленами.  

• Старший член симметрического многочлена обладает свойством нестрого убывания степеней по переменным.  

• Доказательство от противного: если степени нестрого убывают, то перестановка переменных приведет к старшему одночлену, что противоречит предположению.  

• Для любого одночлена с нестрого убывающими степенями существует симметрический многочлен, для которого этот одночлен является старшим членом.  

• Доказательство: старший член произведения элементарных симметрических многочленов равен произведению старших членов этих многочленов.  

• Старший член сигма жтая: произведение первых ж переменных, что приводит к определенному выражению для старшего члена.  

• Степень по икс один равна к один.  

• Степень по икс два равна к два.  

• Степень по икс жой равна к жой.  

• Степень по икс н равна к н.  

• Эль один должно быть равно к один минус к два.  

• Эль два должно быть равно к два минус к три.  

• Эль жтое должно быть равно к жтое минус к жтое плюс первое.  

• Эль энное должно быть равно к энное.  

• Все разности соседних степеней не отрицательны.  

• Существует ровно один набор степеней, удовлетворяющий равенствам.  

• Старший член произведения равен исходному одночлену.  

• Старший член симметрического многочлена обладает свойством нестрого убывающих степеней.  

• Старший член может быть представлен как произведение элементарных симметрических многочленов.  

• Новый многочлен ф один равен ф минус произведение сигма-итах в степенях эль один и так далее эль н.  

• Старший член ф один будет младше, чем старший член ф.  

• Многочлен ф один можно представить как сумму старшего члена с коэффициентом а один и младших членов.  

• Процесс повторяется для ф два, ф три и так далее.  

• Последовательность однородных симметрических многочленов не может продолжаться бесконечно.  

• Рано или поздно процесс закончится, и многочлен ф будет представлен как произведение элементарных симметрических многочленов.  

• Многочлен ф можно представить как сумму произведений элементарных симметрических многочленов.  

• Процесс вычитания приводит к уменьшению старших членов и в итоге к нулю.  

• В итоге многочлен ф выражается через элементарные симметрические многочлены.  

• Степень многочлена равна степени старшего члена.  

• Старшие члены убывают по степени переменной x1.  

• Сравнение степеней включает все переменные.  

• Степени старших членов произведений сигма равны сумме показателей.  

• Самая большая степень равна степени многочлена.  

• Степень многочлена равна сумме степеней старших членов.  

• Рассматриваются два выражения многочлена через элементарные симметрические многочлены.  

• Разность многочленов равна нулю.  

• Доказывается, что выражение многочлена через элементарные симметрические многочлены единственно.  

• Предположим, что разность многочленов не равна нулю.  

• Подставляем элементарные симметрические многочлены вместо переменных.  

• Старшие члены произведений различны, что приводит к противоречию.  

• Противоречие доказывает, что разность многочленов равна нулю.  

• Теорема полностью доказана.  

• Теоремы Виета и основная теорема асимметрических многочленах являются основой для применения симметрических многочленов.  

• Основная теорема о симметрических многочленах переносится без изменений на случай коммутативного ассоциативного кольца с единицей.  

• Пример: кольцо целых чисел.  

• Теорема утверждает, что всякий симметрический многочлен с целыми коэффициентами представляется в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов с целыми коэффициентами.  

• Теория симметрических многочленов применима к изучению корней многочленов от одной переменной.  

• Принцип: значение симметрического многочлена от корней многочлена представляется в виде многочлена от отношений коэффициентов многочлена к старшему коэффициенту.  

• Это следует из основной теоремы о симметрических многочленах и теоремы Виета.  

• Для вычисления симметрического многочлена на корнях многочлена достаточно знать элементарные симметрические многочлены от этих корней.  

• Элементарные симметрические многочлены выражаются через коэффициенты исходного многочлена.  

• Это позволяет применять симметрические многочлены в теории корней многочленов от одной переменной.  

• Дискриминант многочлена от одной переменной обобщает понятие дискриминанта квадратного трехчлена.  

• Рассматривается многочлен от n переменных, представляющий собой произведение всевозможных разностей этих переменных, возведенных в квадрат.  

• Этот многочлен является симметрическим и может быть представлен в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.  

• Подстановка корней многочлена в многочлен от элементарных симметрических многочленов дает дроби.  

• Степень многочлена от элементарных симметрических многочленов равна 2n-2.  

• Умножение на a в степени 2n-2 приводит к многочлену от коэффициентов многочлена.  

• Многочлен от коэффициентов a0, a1, ..., an называется дискриминантом многочлена f.  

• Дискриминант выражается через корни многочлена f и его старший коэффициент.  

• Основное свойство дискриминанта: он равен нулю, если многочлен f имеет кратные корни.  

• Дискриминант можно вычислить, не зная корней многочлена.  

• Дискриминант выражается как многочлен от коэффициентов многочлена.  

• Один из способов вычисления дискриминанта через определитель Вандермонда.  

• Определитель Вандермонда можно представить как произведение двух определителей.  

• Определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей.  

• Определитель Вандермонда можно вычислить через степенные суммы.  

• Определитель произведения матриц равен сумме произведений элементов строк и столбцов.  

• Определитель Вандермонда можно представить как определитель матрицы из степенных сумм.  

• Дискриминант многочлена f равен произведению старшего коэффициента и определителя матрицы, составленной из значений степенных сумм корней многочлена.  

• Для выражения дискриминанта как многочлена от коэффициентов многочлена, нужно выразить степенные суммы через значения элементарных симметрических многочленов.  

• После домножения на старший коэффициент знаменатели пропадают, и остается многочлен от коэффициентов многочлена f.  

• На следующей лекции будут рассмотрены примеры.