Лекция №;12. Ортогональное дополнение. Ортогонализация. Сопряженное пространство

• Евклидово пространство - это векторное пространство с дополнительной структурой.  

• Вводится симметричная билинейная положительно определенная форма, называемая скалярным произведением.  

• Возникает полноценная многомерная геометрия с длинными, углами и ортогональностью.  

• Ортогональные базисы существуют, так как скалярное произведение имеет диагональный вид.  

• Работа в ортогональном базисе ведется по привычным правилам.  

• Скалярное произведение вычисляется по формуле, знакомой из первого семестра.  

• Матрица Грама - это таблица скалярного умножения, аналогичная матрице симметричной билинейной формы.  

• Это частный случай общей теории билинейных и квадратичных форм.  

• Два подпространства ортогональны, если каждый вектор одного подпространства ортогонален каждому вектору другого.  

• Сумма ортогональных подпространств является прямой суммой.  

• Признак ортогональности подпространств: если векторы ортогональны для всех пар, то подпространства ортогональны.  

• Ортогональное дополнение подпространства - это множество всех векторов, ортогональных подпространству.  

• Ортогональное дополнение является подпространством.  

• Прямая сумма ортогональных подпространств совпадает с исходным пространством.  

• Любой вектор имеет единственное разложение на компоненты из подпространства и его ортогонального дополнения.  

• Ортогональная проекция вектора на подпространство - это его проекция на ортогональное дополнение.  

• Доказательство теоремы о разложении вектора на компоненты.  

• Ортогональный базис подпространства позволяет найти явную формулу для ортогональной проекции.  

• Вектор раскладывается на сумму линейной комбинации векторов подпространства и добавки, ортогональной подпространству.  

• Доказательство теоремы и получение формулы проекции.  

• Проекция вектора на подпространство у ортогональна.  

• Важно проверять, что система векторов ортогональна.  

• Проекция на подпространство равна сумме проекций на порождающие векторы.  

• В конечномерном случае подпространство и его ортогональное дополнение двойственны.  

• Ортогональное дополнение проще для проектирования.  

• Ортогональную систему векторов можно дополнить до ортогонального базиса.  

• Ортогональное дополнение задается системой линейных уравнений.  

• Пример из аналитической геометрии: нахождение ортогонального дополнения плоскости.  

• Переход от подпространства к ортогональному дополнению осуществляется автоматически.  

• Теорема Фредгольма о системах линейных уравнений.  

• Система совместна, если вектор-столбец ортогонален любому решению однородной системы.  

• Переход на язык евклидовых пространств делает теорему тривиальной.  

• Исправление опечаток и разъяснение ортогональности.  

• Теорема Фредгольма становится понятной при переходе на язык евклидовых пространств.  

• Алгоритм двойственности используется для задания подпространства в виде множества решений однородной системы линейных уравнений.  

• Решение системы с основной матрицей А и транспонированной матрицей А дает матрицу Б.  

• Решение системы с матрицей Б транспонированной дает линейную оболочку столбцов матрицы А.  

• У является ортогональным дополнением к своему ортогональному дополнению.  

• Это утверждение верно для евклидовых пространств.  

• Для проектирования вектора на подпространство нужен ортогональный базис.  

• Если подпространство задано линейной оболочкой, возникает задача создания ортогональной системы.  

• Алгоритм ортогонализации преобразует систему векторов в ортогональную, не меняя линейную оболочку.  

• Геометрическая интерпретация процесса: вычитание проекции вектора на направление предыдущего вектора.  

• Если вектор не ортогонален предыдущему, вычитается его проекция на направление предыдущего вектора.  

• После каждого шага система векторов становится ортогональной.  

• Общая формула: текущий вектор вычитается из суммы его проекций на предыдущие ортогональные векторы.  

• Формула может быть выражена через скалярное произведение, но геометрический смысл процедуры остается ясным.  

• Проекция вектора на ортогональное дополнение важна для нахождения экстремума.  

• Расстояние от вектора до подпространства равно длине проекции на ортогональное дополнение.  

• Геометрическая иллюстрация: расстояние равно нормальной составляющей вектора.  

• Расстояние между вектором и подпространством равно минимуму всех расстояний между ними.  

• Если вектор лежит в подпространстве, инфимум равен нулю.  

• Вектор раскладывается на составляющие: проекция на подпространство и проекция на ортогональное дополнение.  

• Ортогональные векторы имеют скалярный квадрат суммы, равный сумме квадратов.  

• Минимум достигается, когда проекция вектора на подпространство совпадает с вектором.  

• Это согласуется с геометрической иллюстрацией.  

• Теория линейных преобразований сохраняется, но учитывается скалярное произведение.  

• Для каждого линейного преобразования можно определить сопряженное преобразование.  

• Сопряженное преобразование удовлетворяет тождеству, перебрасывая звездочку.  

• Доказательство теоремы: сопряженное преобразование существует и единственно.  

• В комплексном пространстве сопряженное преобразование соответствует транспонированной и комплексно сопряженной матрице.  

• В вещественном случае сопряженное преобразование равно транспонированной матрице.  

• Самосопряженные преобразования сопряжены сами себе: фи со звездочкой равно фи.  

• Они имеют важный геометрический смысл в евклидовых пространствах.  

• Продолжение темы будет рассмотрено в следующий раз.