Лекция №14 "Экстремум функции. Локальные и глобальные экстремумы".

• Определение локального экстремума функции: точка, в которой функция достигает максимума или минимума в некоторой окрестности.  

• Примеры: локальный максимум и локальный минимум.  

• Графики локального максимума и локального минимума функции.  

• Примеры значений функции, которые могут быть выше или ниже локального экстремума.  

• Необходимое условие существования локального экстремума: наличие точки экстремума и существование производной в этой точке.  

• Примеры применения теоремы для нахождения локального экстремума.  

• В видео обсуждаются необходимые условия существования экстремума функции.  

• Если производная функции равна нулю или не существует в некоторой точке, то эта точка может быть экстремумом.  

• Вторая теорема утверждает, что если функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки, а производная имеет разные знаки слева и справа от этой точки, то эта точка является экстремумом.  

• Третья теорема определяет условия монотонности функции: если для любого икс из отрезка, на котором определена функция, производная больше нуля, то функция возрастает на этом отрезке, а если производная меньше нуля, то функция убывает.  

• В примере рассматривается функция игрек = икс в квадрате / икс минус два.  

• Используя записанные теоремы, можно найти интервалы монотонности и локальные экстремумы этой функции.  

• Нахождение точек, в которых производная равна нулю.  

• Проверка точек на принадлежность области определения.  

• Нахождение интервалов возрастания и убывания функции.  

• Интервалы возрастания: от минус бесконечности до нуля и от четырех до бесконечности.  

• Интервалы убывания: от нуля до двух и от двух до четырех.  

• Локальные экстремы: точки максимума и минимума.  

• Интерпретация графиков функции для понимания ситуации с экстремами.  

• Определение функции игрек, равной икс, на отрезке аб.  

• Если в точке икс нулевое, принадлежащей отрезку аб, значение функции больше, чем в любой другой точке, то икс нулевое называется точкой глобального максимума.  

• Если в точке икс нулевое, принадлежащей отрезку аб, значение функции меньше, чем в любой другой точке, то икс нулевое называется точкой глобального минимума.  

• Для нахождения глобальных экстремумов функции игрек, равных на отрезке аб, необходимо выполнить следующие действия:  

•   

• Определить точки локального максимума и минимума на рассматриваемом участке функции.  

•   

• Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.  

•   

• Определить, в какой из точек локального экстремума находится глобальный экстремум.  

•   

• Если глобальный экстремум находится на конце отрезка, то он будет наибольшим или наименьшим значением функции на отрезке.  

• В видео объясняется, как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, используя производную и критические точки.  

• Пример задачи: найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x^2 - 2x на отрезке от 5 до 6.  

• В видео приводятся примеры решения задач на нахождение глобального экстремума.  

• В некоторых случаях функция может не иметь глобального экстремума, но иметь только локальный минимум или максимум.  

• Глобальный экстремум всегда имеет два значения: минимум и максимум.  

• Находят точки, в которых возможно локальный экстремум, используя производную.  

• Приравнивают производную к нулю и находят критические точки.  

• Учитывают, что функция определена на всех иксах, кроме точки минус три.  

• Находят значения функции в критических точках, подставляя значения икса в исходное выражение.  

• Выбирают наименьшее значение функции на отрезке от нуля до трех.  

• Используют стандартные обозначения для глобального минимума и максимума на отрезке.  

• Обозначение минимума функции при иксе от нуля до трех равно минус двадцать четыре.  

• Обозначение максимума функции при иксе от нуля до трех равно восьмидесяти.  

• Функция возрастает на первом интервале, убывает на втором, третьем и четвертом.  

• Точка экстремума - минус шесть, локальный минимум.  

• График состоит из двух частей: до минус трех и после минус трех.  

• Максимум минус двенадцать, минимум при икс равен нулю.  

• График убывает от минус трех до нуля, приближаясь к вертикальной асимптоте.  

• Глобальный экстремум - это наибольшее и наименьшее значение функции на всем множестве значений икс.  

• Локальный экстремум - это наибольшее и наименьшее значение функции на определенном участке.  

• Глобальный максимум и минимум могут быть локальными на определенных участках.