Гамма-функция | Лекция 9 | Математический анализ 4 | А. В. Возианова

• Лекция посвящена гамма-функции Эйлера и интегралу второго рода.  

• Функция объединяет знания из текущего семестра, включая теорию рядов.  

• Лекция будет включать рассмотрение свойств функции и её приложений.  

• Интеграл первого рода будет рассмотрен позже.  

• Гамма-функция полезна в приложениях и является одной из наиболее часто встречаемых специальных функций.  

• Лекция будет посвящена только гамма-функции и её соотношениям.  

• Гамма-функция представляет собой несобственный интеграл, зависящий от параметра.  

• Параметр зет является комплексным числом, что усложняет работу.  

• Интеграл будет разбит на две составляющие для более детального анализа.  

• Первый интеграл от нуля до единицы будет рассмотрен отдельно.  

• Под интегральная функция будет переписана для удобства анализа.  

• Функция под интегралом будет аналитической и непрерывной.  

• Для проверки сходимости интеграла будет использован признак Виртинштрасса.  

• Функция будет оценена мажорантой, что позволит применить признак.  

• Интеграл от единицы до бесконечности будет сходящимся и равномерным.  

• Интеграл от единицы до бесконечности сходится равномерно.  

• Функция под интегралом будет ограниченной и сходящейся.  

• Интеграл можно интегрировать и дифференцировать, что позволяет исследовать его свойства.  

• Равномерная сходимость производной по переменной z позволяет внести её под знак интеграла.  

• Дифференцирование интеграла по переменной z приводит к гламорфным функциям.  

• Функция koz является гламорфной на всей комплексной плоскости.  

• Вторая функция ограничена и интегрируема, но имеет особую точку при z = 0.  

• Функция терпит разрыв при z = 0, что требует особого рассмотрения.  

• При вещественной части z больше единицы функция непрерывна.  

• Оценка по модулю показывает, что функция непрерывна при вещественной части z больше единицы.  

• Интеграл сходится равномерно при условии вещественной части z больше нуля.  

• Функция является целой и гламорфной на всей комплексной плоскости при вещественной части z больше нуля.  

• Понятие аналитического продолжения позволяет распространить свойства функции на всю комплексную плоскость.  

• Аналитическое продолжение гамма-функции будет построено для доказательства её свойств.  

• Функция будет гламорфной за исключением полюсов, что важно для дальнейшего анализа.  

• Интеграл от нуля до единицы для функции e^z-1dt раскладывается в ряд.  

• Разложение в ряд позволяет получить выражение для функции, но требует дальнейшей обработки.  

• Перенос интеграла и суммы местами.  

• Равномерная сходимость ряда.  

• Интегрирование выражения по переменной t.  

• Применение теоремы об интегрировании суммы ряда.  

• Интеграл от суммы и сумма от интеграла.  

• Условия для замены интеграла и суммы местами.  

• Различие между абсолютной и равномерной сходимостью.  

• Степенные ряды и их сходимость.  

• Применение модуля для проверки абсолютной сходимости.  

• Интегрирование степенного ряда с модулем.  

• Вынесение констант за знак суммы.  

• Сходимость интеграла и суммы.  

• Интегрирование функции от параметра.  

• Анализ сходимости ряда по модулю.  

• Построение функции с особенностями.  

• Мироморфная функция с полюсами.  

• Полюса в точках z = -k.  

• Аналитическое продолжение функции.  

• Получили функцию, совпадающую с исходной функцией гамма.  

• Функция гамма является аналитическим продолжением интеграла от нуля до единицы.  

• Функция гамма на всей комплексной плоскости имеет простые полюса.  

• Функция гамма имеет вид, включающий аналитическое продолжение и интеграл от единицы до бесконечности.  

• Функция определена и голоморфна на всей комплексной плоскости.  

• Вычет в полюсе z = k равен факториалу.  

• В окрестности полюса гамма-функция записывается как ряд Лорана.  

• Рассмотрели функцию гамма через интеграл Эйлера.  

• Построили аналитическое продолжение функции гамма с набором полюсов.  

• Использовали теорию рядов и теорию вычетов для изучения функции гамма.  

• Переходим к изучению формул и зависимостей между функциями.  

• Применяем теорию аналитического продолжения для функций, совпадающих на определенной области.