Лекция №4 по ТФКП. Интегральная формула Коши. Городецкий С.Е.

• Обсуждение теоремы об обратной функции.  

• Доказательство существования обратной функции локально.  

• Обратная функция регулярна и её производная вычисляется по той же формуле, что и для функций действительного переменного.  

• Пример с кольцом и функцией z^2.  

• Кольцо переходит в кольцо, но не все точки переходят в разные точки.  

• Обратная функция существует локально, но не глобально.  

• Определение однолистной функции.  

• Пример с функцией z^2 в кольце.  

• Половина кольца является однолистной функцией.  

• Пример с углом и функцией z^n.  

• Область переходит в плоскость без отрицательной действительной полуоси.  

• Обратная функция существует, так как отображение взаимно однозначно.  

• Обратная функция существует и дифференцируема в окрестности точки.  

• Обратная функция является регулярной функцией.  

• Корень из числа может принимать несколько значений.  

• Обратная функция является одним из значений корня.  

• Обозначаем корень как корень из числа, где аргумент принадлежит определенному интервалу.  

• Главная ветвь корня - это одно из значений корня, где аргумент принадлежит определенному интервалу.  

• Вводятся понятия непрерывной и регулярной ветвей многозначной функции.  

• Регулярная ветвь многозначной функции - это функция, которая принимает одно из значений многозначной функции.  

• Для экспоненты можно выбрать регулярную ветвь, заданную на определенном множестве.  

• Главная ветвь корня для экспоненты - это функция, которая принимает значения в определенном интервале.  

• Обратная функция для экспоненты существует и является регулярной.  

• Обратная функция принимает значения логарифма модуля числа.  

• Главная ветвь логарифма - это функция, обратная к экспоненте.  

• Производная регулярной ветви логарифма равна 1/e в степени логарифма числа.  

• Рассматривается главная ветвь логарифма и корня.  

• Производная функции корня равна обратной функции корня.  

• Формула для производной корня аналогична формуле для логарифма.  

• Вводится понятие индекса точки относительно кривой.  

• Индекс точки относительно кривой определяется для точек, не лежащих на кривой.  

• Индекс точки относительно кривой является целым числом.  

• Индекс точки зависит от ориентации кривой.  

• Если точка не лежит в выпуклой области, интеграл по кривой равен нулю.  

• Индекс показывает, сколько раз кривая обходит точку против часовой стрелки.  

• Кривая делит плоскость на компоненты связности.  

• Точки в одной компоненте связности имеют одинаковый индекс.  

• Доказывается, что индекс не меняется при соединении точек отрезком.  

• Рассматривается функция дубль в, связывающая точки а и б.  

• Функция принимает значения на всей плоскости, кроме отрицательной действительной полуоси.  

• Функция взаимно однозначна и отображает всю комплексную плоскость на всю комплексную плоскость.  

• Отрезок между точками а и б переходит в разрез.  

• Вся плоскость без отрезка переходит во всю плоскость без луча.  

• Отрезок задается формулой, которая позволяет вычислить соответствующие значения дубль в.  

• Рассматривается функция, где a и b умножаются на t-1 и 1-t соответственно.  

• При t=1 функция принимает значение бесконечность, а при t от 0 до 1 - отрицательные числа.  

• График функции показывает, что при t от 0 до 1 функция принимает все отрицательные значения.  

• Функция переводит отрезок в луч, что позволяет определить главную ветвь логарифма.  

• Главная ветвь логарифма существует на всей плоскости, кроме отрезка.  

• Производная от главной ветви логарифма может быть посчитана аналогично функции действительного переменного.  

• Функция является полным дифференциалом, что означает, что интеграл по любой замкнутой кривой равен нулю.  

• Это доказывает, что выражение представляет собой полный дифференциал.  

• Интеграл по гамма-1 назад минус б-зет равен интегралу по гамма-1 назад минус а-зет.  

• Индекс точки относительно кривой постоянен в каждой компоненте связности.  

• Для внешней компоненты связности индекс равен нулю.  

• Кривая может быть помещена в круг, что доказывает, что индекс точки вне круга равен нулю.  

• Если кривая обходит точку один раз против часовой стрелки, индекс равен единице.  

• Рассматривается окружность с центром в точке и кривые, которые ее пересекают.  

• Индекс точки равен сумме индексов по трем замкнутым кривым, что доказывает его значение.  

• Объяснение интегралов и индексов для кривых.  

• Упрощение выражений и сокращение интегралов.  

• Определение индекса точки относительно кривой.  

• Замкнутые кривые и их индексы.  

• Внешняя компонента связанности и её влияние на индексы.  

• Индекс окружности относительно точки.  

• Расширение класса функций для теоремы Каши.  

• Доказательство теоремы при наличии особых точек.  

• Применение леммы Гурса для доказательства.  

• Разбиение треугольника на части.  

• Оценка интегралов по квадратам.  

• Доказательство малости интегралов.  

• Введение функции и её регулярность.  

• Применение интегральной теоремы Каши.  

• Исключение точек нерегулярности из интеграла.  

• Предел функции и его влияние на интеграл.  

• Разбиение интеграла на два.  

• Индекс точки относительно кривой.  

• Рассматривается кривая, обходящая точку А один раз против часовой стрелки.  

• Формула: эф ата = 1/2π интеграл по гамма ф зет дзет, деленное на назад минус а.  

• Переменная интегрирования обозначается как дзета, а буква А заменяется на зет.  

• Интеграл вида называется интегралом Каши.  

• Доказывается, что функция, непрерывная на кривой, бесконечно дифференцируема.  

• Регулярная функция, допускающая интегральное представление, бесконечно дифференцируема.  

• Вводится обозначение: фн от зет - интеграл ф зет на минус зет вной по кривой гамма.  

• Доказывается, что фн от зет штрих = н фн+1 от зет для любого натурального н.  

• Используется индукция для доказательства дифференцируемости.  

• Рассматривается разность интегралов ф один от зет минус ф один от зет ноль.  

• Оценивается модуль разности интегралов сверху.  

• Доказывается непрерывность функции ф один и ее дифференцируемость.  

• Доказательство дифференцируемости откладывается на следующий раз.  

• Вопросы и завершение лекции.