ТФКП. Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Область сходимости ряда Лорана. Примеры решений типовых задач.

• Ряды Лорана - это функциональные ряды, расширяющие степенные ряды Тейлора.  

• Они включают как положительные, так и отрицательные степени.  

• Общий вид ряда Лорана: сумма коэффициентов при степенях z, где z - комплексная переменная, а z0 - фиксированное комплексное число.  

• Ряд Лорана можно разложить на сумму двух рядов: главную часть с отрицательными степенями и правильную часть с положительными степенями.  

• Главная часть ряда Лорана сходится в круге сходимости, где модуль z меньше некоторого числа.  

• Правильная часть ряда Лорана сходится в круге, где модуль z меньше определенного числа.  

• Область сходимости правильной части ряда Лорана: модуль z меньше p-большое.  

• Область сходимости главной части ряда Лорана: модуль z больше p-малое.  

• Кольцо сходимости: p-малое меньше модуль z меньше p-большое.  

• Радиус p-большое: предел отношения коэффициента к коэффициенту с индексом n+1.  

• Радиус p-малое: предел корня n-й степени из модуля коэффициента с индексом -n.  

• В кольце сходимости ряд Лорана сходится к аналитической функции.  

• Аналитическая функция в кольце сходимости представляется рядом Лорана.  

• Коэффициенты ряда Лорана вычисляются через контурные интегралы.  

• Пример ряда Лорана с правильной и главной частями.  

• Правильная часть: сумма z^2/3^n.  

• Главная часть: сумма 1/2^n*z^n.  

• Область сходимости: модуль z меньше корня из трех и модуль z больше одной второй.  

• Рассматривается ряд Лорана с главной частью и правильной частью.  

• Главная часть имеет отрицательную степень z в знаменателе.  

• Центр разложения равен минус единице, а не нулю.  

• Коэффициент главной части ряда равен 2n-1.  

• Коэффициент правильной части равен 1/(z+1)^n.  

• Радиус сходимости главной части равен пределу отношения коэффициентов при n стремящемся к бесконечности.  

• Предел отношения коэффициентов равен 2.  

• Радиус сходимости правильной части равен пределу корня n-й степени из 1/(z+1)^n при n стремящемся к бесконечности.  

• Предел равен бесконечности, что означает кольцо сходимости r меньше z минус z0 по модулю меньше r.