Алгебраическая топология 1. Метрические и топологические пространства

• Андрей Михайлович, аспирант кафедры скетной математики, заменяет доцента Гусева на третьем курсе кафедры.  

• Он планирует читать курс алгебраической топологии, который отличается от подхода его старших коллег.  

• Андрей Михайлович просит студентов предоставить список тех, кто планирует посещать его курс и сдавать его.  

• Он объясняет, что курс является необязательным и предназначен для развития математической культуры студентов.  

• Андрей Михайлович планирует организовать занятия по общей топологии, а затем перейти к конкретным приложениям алгебраической топологии.  

• Он предлагает студентам прослушать курс общей топологии и затем перейти к изучению алгебраической топологии и гомологической алгебры.  

• Андрей Михайлович обсуждает опыт других преподавателей, которые предлагают годовые курсы алгебраической топологии без необходимости предварительного знания.  

• Он отмечает, что учебный план не его и курс не его, но он чувствует себя ответственным за его проведение.  

• Преподаватель рассказывает о своем опыте преподавания и о том, как он планирует проводить занятия.  

• Он подчеркивает, что не требует обязательного посещения занятий и предлагает студентам самостоятельно изучать материал.  

• Преподаватель предлагает план курса, который включает в себя общую топологию и алгебраическую топологию.  

• Он также упоминает, что студенты могут сдавать задачи и получать оценки, а также предлагает возможность самостоятельного изучения материала.  

• Преподаватель предлагает список литературы, включая книгу Павла Сергеевича Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию".  

• Он также обсуждает возможность организации листочков для сдачи задач и предлагает стартовую оценку для курса.  

• Преподаватель обсуждает свое правило ставить оценки студентам, которые посещают его спецкурс.  

• Он также обсуждает, что курс общей топологии может показаться сложным для студентов, которые не являются специалистами по чистой математике.  

• Преподаватель начинает занятие с повторения понятия метрического пространства и его аксиом.  

• Он приводит примеры метрических пространств, таких как евклидово пространство и вещественная прямая.  

• Преподаватель объясняет, что если функция метрики ограничена, то пространство называется ограниченным.  

• Он также вводит понятие диаметра пространства и расстояния между точками.  

• Определение расстояния между множествами в метрическом пространстве  

• Определение сферической окрестности и точки прикосновения  

• Определение открытого множества в метрическом пространстве  

• Определение замкнутого множества в метрическом пространстве  

• Доказательство того, что если у нас есть метрика на множестве, то мы знаем, что с этим связано множество открытых множеств  

• Доказательство того, что с помощью дополнения можно определить множество замкнутых множеств  

• Преподаватель объясняет, что сегодня будет рассказывать о топологии, которая является фундаментальным курсом.  

• Он обсуждает основные определения и аксиомы, такие как метрика, замыкание, диаметр, открытые и замкнутые множества, расстояние между множествами и диаметр множества.  

• Преподаватель обсуждает, что объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством, а пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.  

• Он также обсуждает, что если расстояние между двумя подмножествами металлического пространства равно нулю, то они обязательно пересекаются.  

• Преподаватель вводит определение топологического пространства, которое состоит из множества и семейства открытых множеств, удовлетворяющих определенным аксиомам.  

• Он объясняет, что метрические пространства являются топологическими пространствами, если открытые множества определены в смысле открытых ядер.  

• Преподаватель приводит примеры топологических пространств, таких как метрические пространства и множества с открытыми множествами, определенными в смысле открытых ядер.  

• Метрика порождает топологию в метрическом пространстве, но не всякая топология порождается метрикой.  

• Топологическое пространство называется метризуемым, если существует метрика, которая порождает топологию.  

• Топология на топологическом пространстве должна удовлетворять некоторым требованиям для того, чтобы пространство было метризуемым.  

• Окрестность точки - это открытое множество, содержащее эту точку.  

• Точка прикосновения - это точка, которая принадлежит всем окрестностям.  

• Замыкание множества - это множество точек прикосновения.  

• Доказать утверждения о замкнутости, монотонности и пересечениях множеств.  

• Повторить доказательства из курса топологии.  

• В лекции обсуждается оператор замыкания, который превращает множество в топологическое пространство.  

• Определяются аксиомы куратовского, которые удовлетворяют оператор замыкания.  

• Преподаватель предлагает альтернативный вариант курса, где основные вещи могут быть оставлены на самостоятельное изучение или обсуждаться в течение курса.  

• Обсуждается возможность решения задач дома и сдачи их преподавателю для обсуждения.  

• Преподаватель дает еще два определения оператора замыкания и обсуждает возможность организации задач со звездочкой или на листочках для обсуждения в конце курса.  

• Топологическое пространство - это множество, на котором задана топология, то есть совокупность всех его открытых множеств.  

• Предельная точка - точка, в окрестности которой содержится бесконечно много точек множества.  

• Изолированная точка - точка, которая является внутренней точкой множества и не принадлежит его окрестности.  

• Непрерывное отображение - отображение, которое непрерывно в каждой точке.  

• Открытое отображение - отображение, которое переводит открытые множества в открытые множества.  

• Замкнутое отображение - отображение, которое переводит замкнутые множества в замкнутые множества.  

• Если на множестве игрек задана топология, индуцированная из топологического пространства икс, то открытыми множествами в игрек являются те множества, которые пересекаются с открытыми множествами в икс.  

• Всякая подмножество топологического пространства также снабжается индуцированной топологией.  

• Обсуждаются леммы склеивания и их применение к непрерывным отображениям.  

• Рассматривается пример связного топологического пространства и его свойства.  

• В конце видео преподаватель предлагает студентам решить задачу о непрерывном открытом отображении единичного сегмента в себя.  

• Также обсуждаются вопросы о задании топологии через систему окрестностей и о доказательстве существования базы фиксированной мощности.