Тригонометрия. Задача №16. Базовая математика ЕГЭ 2024

• Тригонометрия встречается в базовом ЕГЭ редко, только в номере 16.  

• Номер 16 включает преобразование выражений, включая степени, корни и логарифмы.  

• Сегодняшняя тема - основы тригонометрии, необходимые для базового уровня.  

• В базовом ЕГЭ всего два вида задач на тригонометрию.  

• Важно научиться решать эти два вида задач, но есть много нюансов.  

• В конце вебинара будут решены задачи из сборника.  

• Тригонометрическая окружность - это окружность единичного радиуса.  

• Углы на окружности измеряются против часовой стрелки.  

• Каждая точка на окружности соответствует определенной градусной мере угла.  

• Углы увеличиваются по мере движения по окружности.  

• Угол в 90 градусов соответствует определенной точке на окружности.  

• Углы могут быть больше 180 градусов, что важно для тригонометрии.  

• Углы можно измерять не только в градусах, но и в радианах.  

• Радиан - это длина дуги, соответствующая углу.  

• Два пи соответствует 360 градусам, а пи - 180 градусам.  

• Обсуждение важности знания измерений в радианах.  

• Примеры перевода градусов в радианы и наоборот.  

• Упражнения на соответствие градусов и радианов.  

• Примеры перевода радианов в градусы и наоборот.  

• Объяснение, как запомнить соотношения.  

• Упражнения на перевод углов в радианы и обратно.  

• Переход к изучению тригонометрии.  

• Определение косинуса и синуса угла.  

• Объяснение координат по осям.  

• Проверка соответствия тригонометрических и геометрических определений.  

• Объяснение, почему определения не противоречат друг другу.  

• Введение в основные тригонометрические формулы.  

• Основное тригонометрическое тождество.  

• Объяснение, как использовать теорему Пифагора для доказательства тождества.  

• Косинус и синус могут быть как положительными, так и отрицательными.  

• Ранее косинус и синус были положительными только для острых углов.  

• Теперь косинус и синус могут быть отрицательными для углов, отличных от острых.  

• Тангенс угла альфа равен синусу альфа, деленному на косинус альфа.  

• Котангенс угла альфа равен косинусу альфа, деленному на синус альфа.  

• Тангенс и котангенс связаны формулой: тангенс умножить на котангенс равно единице.  

• Тангенс альфа равен минус одной второй, котангенс альфа равен минус два.  

• Формулы: один плюс тангенс альфа в квадрате равно один делить на косинус альфа в квадрате и один плюс котангенс альфа в квадрате равно один делить на синус альфа в квадрате.  

• Определение знаков косинуса и синуса в разных четвертях.  

• Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, отрицателен во второй и третьей четвертях.  

• Синус положителен в первой и третьей четвертях, отрицателен во второй и четвертой четвертях.  

• Объяснение, что такое косинус и синус.  

• Упоминание о том, что синус и косинус могут быть отрицательными.  

• Введение в тангенс и котангенс.  

• Тангенс равен синус делить на косинус.  

• Котангенс равен косинус делить на синус.  

• Объяснение, когда тангенс и котангенс существуют и не существуют.  

• Объяснение знаков тангенса в разных четвертях.  

• Аналогичный анализ для котангенса.  

• Введение в табличные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.  

• Объяснение, как определять значения для узловых точек.  

• Объяснение, что такое узловые точки и как их определять.  

• Пример определения значений для угла 0 градусов.  

• Объяснение, как определять значения для угла 90 градусов.  

• Пример определения значений для угла 90 градусов.  

• Объяснение, как определять значения для угла 180 градусов.  

• Пример определения значений для угла 180 градусов.  

• Объяснение, как определять значения для угла 270 градусов.  

• Пример определения значений для угла 270 градусов.  

• Объяснение, как запоминать значения для углов 30 и 60 градусов.  

• Пример запоминания значений для углов 30 и 60 градусов.  

• Обсуждение таблицы и переход к задаче.  

• Знание синуса альфа и координатной четверти.  

• Напоминание о координатных четвертях и их влиянии на вычисления.  

• Вычисление косинуса в квадрате.  

• Подстановка значений и нахождение косинуса в квадрате.  

• Определение знака косинуса в зависимости от координатной четверти.  

• Косинус и синус изменяются в диапазоне от -1 до 1.  

• Тангенс и котангенс могут быть любыми числами.  

• Проверка правильности ответа по диапазону косинуса.  

• Вычисление тангенса: синус делить на косинус.  

• Вычисление котангенса: один делить на тангенс.  

• Объяснение, почему деление обратно умножению.  

• Обсуждение, может ли произведение синуса и косинуса превышать единицу.  

• Объяснение, почему произведение двух чисел меньше единицы не превышает единицу.  

• Вычисление синуса альфа: косинус альфа равен 8/17.  

• Определение координатной четверти и нахождение синуса.  

• Вычисление тангенса и котангенса на основе синуса и косинуса.  

• Задача с тангенсом, найденная в сборнике Ященко.  

• Использование формулы для нахождения косинуса и синуса.  

• Применение формулы для нахождения косинуса и синуса через тангенс.  

• Использование формулы для нахождения косинуса через тангенс.  

• Подстановка значений и нахождение косинуса.  

• Определение знака косинуса в зависимости от четверти.  

• Использование определения тангенса для нахождения синуса.  

• Применение пропорции для упрощения вычислений.  

• Проверка правильности решения.  

• Задача с катангенсом, найденная в третьей четверти.  

• Использование формулы для нахождения тангенса.  

• Определение косинуса и синуса через тангенс и косинус.  

• Введение в формулы отрицательного аргумента.  

• Объяснение, как работать с отрицательными углами.  

• Применение формул для нахождения синуса и косинуса отрицательных углов.  

• Введение в формулы приведения.  

• Объяснение, как понять, что угол относится к формулам приведения.  

• Применение формул приведения для нахождения синуса и косинуса углов.  

• Если угол равен пи или два пи, функция не меняется.  

• Если угол делится на пи пополам, функция меняется.  

• Пример: синус меняется на косинус, тангенс на котангенс.  

• Пи и альфа: функция не меняется, пишем синус альфа.  

• Пи минус альфа: функция меняется, пишем косинус альфа.  

• Пи минус альфа во второй четверти: косинус отрицательный, пишем минус.  

• Тангенс пи минус альфа: функция не меняется, пишем тангенс альфа.  

• Котангенс пи минус альфа: функция не меняется, пишем котангенс альфа.  

• Косинус три пина два плюс альфа: функция меняется, пишем синус альфа.  

• Если угол слишком большой, отбрасываем полные обороты.  

• Пример: 380 градусов, отбрасываем 360, остается 20 градусов.  

• Тренировочные задания: синус пи плюс альфа, косинус пи плюс альфа и т.д.  

• Синус квадрат 90 плюс альфа: меняем синус на косинус, возводим в квадрат.  

• Тангенс квадрат: меняем тангенс на котангенс, возводим в квадрат.  

• В случае квадратов можно игнорировать второй шаг алгоритма.  

• Отбрасываем полные круги: 360 градусов и 2π радиан.  

• Пример: тангенс квадрата 4π + 1.16π.  

• Применяем формулы приведения: тангенс 30 градусов.  

• Пример: тангенс квадрата 1.16π.  

• Используем формулы приведения: тангенс 30 градусов.  

• Возводим в квадрат и получаем табличное значение.  

• Пример: котангенс квадрата 19π/3.  

• Отбрасываем полные круги: 6π.  

• Используем формулу приведения: котангенс 60 градусов.  

• Пример: синус 150 градусов.  

• Используем формулы приведения: синус 30 градусов.  

• Пример: косинус 150 градусов.  

• Пример: тангенс 460 градусов.  

• Отбрасываем полные круги: тангенс 100 градусов.  

• Используем формулы приведения: минус котангенс 10 градусов.  

• Пример: катангенс 460 градусов.  

• Отбрасываем полные круги: катангенс 100 градусов.  

• Используем формулы приведения: минус тангенс 10 градусов.  

• Пример: косинус 750 градусов.  

• Используем формулы приведения: косинус 30 градусов.  

• Пример: синус -135 градусов.  

• Пример: косинус 750 градусов.  

• Используем формулы приведения: косинус 30 градусов.  

• Пример: синус -135 градусов.  

• Пример: синус -135 градусов.  

• Используем формулы приведения: синус 45 градусов.  

• Ответ: 18.  

• Переход от тангенса к катангенсу через формулу приведения.  

• Использование формулы приведения для уменьшения угла.  

• Применение формул для сохранения множителей и получения правильного знака.  

• Преобразование углов для использования формул приведения.  

• Применение формул для нахождения значений синусов и косинусов.  

• Подстановка табличных значений и упрощение выражений.  

• Преобразование угла для использования формул приведения.  

• Упрощение выражений и нахождение значений косинусов и синусов.  

• Применение формул для нахождения корней и упрощение выражений.  

• Применение формул для нахождения значений синусов и косинусов.  

• Использование формул для упрощения выражений и нахождения корней.  

• Определение знаков и извлечение корней для нахождения значений.  

• Применение формул для нахождения значений тангенсов.  

• Использование формул для упрощения выражений и нахождения корней.  

• Определение знаков и извлечение корней для нахождения значений тангенсов.  

• Нахождение тангенса угла через синус и косинус.  

• Использование формулы синус квадрат плюс косинус квадрат равно единице.  

• Извлечение корня и деление синуса на косинус для нахождения тангенса.  

• Обнаружение ошибки в расчете косинуса.  

• Исправление расчета и нахождение правильного значения косинуса.  

• Повторное вычисление тангенса с учетом правильного значения косинуса.  

• Подведение итогов и благодарность зрителям.  

• Упоминание о двух типах задач в тригонометрии.  

• Прощание и напоминание о следующем занятии.  

• Упоминание о стримах по Dota 2.  

• Рекомендация канала Алипаша Калина.  

• Прощание и благодарность за внимание.