Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости

• Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.  

• Последовательность степеней a_n x^n называется функциональной последовательностью.  

• Сумма членов этой последовательности называется степенным рядом.  

• Область сходимости степенного ряда - множество значений x, при которых ряд сходится.  

• Если x не принадлежит области сходимости, ряд расходится.  

• Коэффициенты степенного ряда - постоянные величины a_n.  

• Если степенной ряд сходится при x = x_0, то он сходится абсолютно при любом x, удовлетворяющем неравенству |x| < |x_0|.  

• Доказательство: при x = x_0 ряд сходится, что означает ограниченность a_n x_0^n.  

• Ряд с общим членом |a_n x| сходится, что доказывает абсолютную сходимость ряда.  

• Радиус сходимости r разделяет множество действительных чисел на два класса: точки абсолютной сходимости и точки расходимости.  

• Интервал сходимости симметричен относительно начала координат.  

• Для нахождения радиуса сходимости фиксируют значение x и определяют сходимость числового ряда по признаку Даламбера.  

• Радиус сходимости равен пределу отношения модуля a_n+1 к a_n при n стремящемся к бесконечности.  

• Предел отношения a_n+1/a_n при n стремящемся к бесконечности равен корню n-й степени из модуля a_n.  

• Соотношение для радиуса сходимости степенного ряда включает предел отношения модуля a_n+1 к a_n и корень n-й степени из модуля a_n.