25. Бесконечно малые функции

• Определение бесконечно малой функции.  

• Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.  

• Основные свойства бесконечно малых функций.  

• Функция называется бесконечно малой при стремлении к точке а, если ее предел в этой точке равен нулю.  

• Определение предела функции на языке эпсилон-дельта.  

• Примеры бесконечно малых функций при стремлении к бесконечности.  

• Функция y = x^2 является бесконечно малой при стремлении к нулю.  

• Функция y = 1/x является бесконечно малой при стремлении к бесконечности.  

• Функция f имеет предел a при стремлении к a, если и только если она равна сумме числа a и бесконечно малой функции.  

• Доказательство необходимости: если предел функции равен a, то функция может быть представлена как сумма числа a и бесконечно малой функции.  

• Если функция f может быть представлена как сумма числа a и бесконечно малой функции, то предел этой функции равен a.  

• Доказательство достаточности: если предел функции f равен a, то функция f может быть представлена как сумма числа a и бесконечно малой функции.  

• Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций также является бесконечно малой функцией.  

• Доказательство: для любого эпсилон больше нуля существует дельта, что для любых значений x, удовлетворяющих неравенству, модуль суммы функций меньше эпсилон.  

• Сумма бесконечно малых функций также является бесконечно малой функцией.  

• Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию также является бесконечно малой функцией.  

• Бесконечно малая функция при стремлении к точке а имеет предел, равный нулю.  

• Для любого эпсилон больше нуля существует дельта, такое что для всех значений аргумента в дельта-окрестности точки а, модуль функции меньше эпсилон.  

• Ограниченная функция в окрестности точки а имеет значение, не превышающее определенное число м.  

• Для всех значений аргумента в дельта-окрестности точки а, модуль функции не превосходит м.  

• Выбираем дельта как наименьшее из дельта1 и дельта2.  

• Для всех значений аргумента в дельта-окрестности точки а, выполняются оба неравенства.  

• Модуль произведения ограниченной функции на бесконечно малую функцию меньше эпсилон, что означает, что предел произведения равен нулю.  

• Произведение двух бесконечно малых функций также является бесконечно малой функцией.  

• Произведение бесконечно малой функции на константу также является бесконечно малой функцией.  

• Обратная к бесконечно малой функции является бесконечно большой функцией.  

• Обратная к бесконечно большой функции является бесконечно малой функцией.  

• Если альфа от икс бесконечно малая функция, то 1/альфа от икс является бесконечно большой функцией.  

• Если эф от икс бесконечно большая функция, то 1/эф от икс является бесконечно малой функцией.  

• При стремлении икс к плюс бесконечности, функция игрек равно два в степени икс является бесконечно большой.  

• Обратная функция игрек равно одна, вторая в степени икс при стремлении икс к плюс бесконечности является бесконечно малой.  

• При стремлении икс к минус бесконечности, функция игрек равно два в степени икс является бесконечно малой.  

• Обратная функция игрек равно одна, вторая в степени икс при стремлении икс к минус бесконечности является бесконечно большой.