Функция Грина. Уравнение Клейна-Гордона-Фока

• Рассматривается функция Грина для уравнения Клейна-Гордона-Фока.  

• Уравнение отличается от уравнения Максвелла наличием коэффициента массы.  

• Уравнение описывает частицу с массой, в отличие от безмассового фотона.  

• Уравнение записано для релятивистского случая.  

• Функция Грина должна быть лоренцево инвариантной.  

• Рассматривается, как сохранить лоренцеву инвариантность при переходе в другую систему отсчета.  

• Оператор не зависит от т и р, что позволяет использовать трансляционную симметрию.  

• Уравнение для функции Грина: лапласиан плюс м^2 равен дельта-функции от т минус тэ штрих на дельта-функции от р минус эр штрих.  

• Определяется обратное преобразование Фурье для перехода к прямым вычислениям.  

• Интеграл в представлении к омега на е в степени и к р скалярно минус и омега т интегрируется по д три к и дт.  

• Для нахождения решения уравнения в Фурье представлении используется обратное преобразование Фурье.  

• Уравнение до ламбианиан плюс м^2 равно дельта-функции т минус тэ штрих преобразуется обратно в Фурье представление.  

• Оператор Лапласа: дважды продифференцировать по времени.  

• Преобразование Фри: интеграл по времени и координатам.  

• Уравнение алгебраического вида: единица, деленная на квадрат к минус омега квадрат плюс м квадрат.  

• Полюса на вещественной оси: корень из к квадрат плюс м квадрат и минус корень из к квадрат плюс м квадрат.  

• Переход к сферическим координатам: интеграл по косинусу тета и омега.  

• Классический случай: система координат движется с маленькой скоростью, масса покоя остается неизменной.  

• Лоренцево преобразование: инвариантность квадрата минус омега квадрат.  

• Обход полюсов: контур замыкается снизу для т больше нуля.  

• Инвариантность функции Грина: обход полюсов для сохранения Лоренцевой инвариантности.  

• Интегрирование по фи: зависимость от к и косинуса тета.  

• Интегрирование по омега: корень из к квадрат плюс м квадрат.  

• Обход контура: т больше нуля и т меньше нуля.  

• Экономичное выражение: т больше нуля и т меньше нуля.  

• Интегрирование по тета: мнимая единица и квадрат дк.  

• Интеграл от нуля до плюс бесконечности по синус тета детекта.  

• Преобразование пределов интегрирования.  

• Сокращение множителей и упрощение выражения.  

• Переход к новому интегралу.  

• Замена переменной в интеграле.  

• Перестановка пределов интегрирования.  

• Избавление от функций и упрощение выражения.  

• Трудности с взятием интеграла.  

• Переход к новой переменной.  

• Невозможность упрощения выражения.  

• Переход к комплексной карте.  

• Интегрирование и упрощение выражения.  

• Замена пределов интегрирования.  

• Построение комплексной плоскости.  

• Определение значений корней.  

• Обход контура интегрирования.  

• Замыкание контура интегрирования.  

• Определение значений к.  

• Предел при м стремящемся к нулю.  

• Подстановка значений в интеграл.  

• Упрощение знаменателя.  

• Переписывание функции Грина.  

• Рассматривается интеграл, который сложно взять.  

• Предлагается хитрость для упрощения интеграла.  

• Упоминается, что уравнение Клейна-Гордона-Фока может быть на экзамене.  

• Величина представляется в другом виде.  

• Возникают корни и знаменатели, мешающие интегрированию.  

• Предлагается замена для упрощения интеграла.  

• Рассматривается корень из квадрата величины минус константа.  

• Используется тригонометрическое или гиперболическое тождество.  

• Делается замена для упрощения выражения.  

• Омега заменяется на мшенус косинус альфа.  

• Интеграл разбивается на два интеграла из-за нечетности функции.  

• Используется гиперболическое тождество для упрощения.  

• Омега заменяется на мшенус косинус альфа при омиге больше нуля.  

• Делается замена для упрощения выражения.  

• Интеграл упрощается до косинуса в квадрате минус единица.  

• Подставляется мшенус косинус альфа и выносится м.  

• Интеграл упрощается до косинуса в квадрате альфа.  

• Делается замена для избавления от корней.  

• Интеграл разбивается на два случая: омега больше или меньше м.  

• Делается специфическая замена для упрощения.  

• Интеграл упрощается до косинуса альфа.  

• Интеграл упрощается до косинуса альфа.  

• Делается замена для избавления от корней.  

• Интеграл доводится до экспоненты и косинуса альфа.  

• Рассматривается интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности.  

• Обсуждается функция косинуса и синуса с альфа.  

• Делается попытка разбить интеграл на сумму и комплексно-сопряженную часть.  

• Интеграл преобразуется в косинус и синус разности.  

• Рассматриваются функции Бесселя второго рода.  

• Используется тождество для косинуса и синуса суммы.  

• Выводится гиперболический тангенс от бета.  

• Делается смещение для нахождения величины.  

• Интеграл преобразуется через отношение.  

• Рассматривается общий множитель и его вынесение.  

• Интеграл приостанавливается для дальнейшего анализа.  

• Интеграл снова рассматривается, но с поворотом контура.  

• Делается замена омиги на минус и на м на шину альфа.  

• Обсуждается сходимость интеграла и поднятие особенности.  

• Контур деформируется для обеспечения сходимости.  

• Рассматривается возможность искажения контура.  

• Проверяется, что интеграл замыкается в нужном направлении.  

• Альфа изменяется от бесконечности до нуля и обратно.  

• Корень должен раскрываться так, чтобы точка оставалась сверху.  

• Омега преобразуется в отрицательную величину минус м квадрат на шину с квадрат.  

• Подкоренное выражение имеет положительную мнимую часть.  

• Корень из омега квадрат минус м квадрат преобразуется в корень из минус м квадрат на шину с квадрат альфа.  

• Используется эр-омега представление для упрощения.  

• Выносится м квадрат, оставляя корень из минус единицы плюс шину с квадрат альфа.  

• Кошиус альфа используется вместо модуля.  

• Интеграл переписывается с учетом монотонности функции.  

• Контур поворачивается для прохождения от минус бесконечности до плюс бесконечности.  

• Омега меняется от отрицательного до положительного значения.  

• Альфа меняется от плюс бесконечности до минус бесконечности.  

• Выражение преобразуется к виду косинус альфа умножить на р минус шину альфа умножить на т.  

• Величина р пропорциональна косинус бета и шинус бета.  

• Квадрат выражения должен давать единицу.  

• Выносится корень из р квадрат минус т квадрат.  

• Косинус альфа умножается на р деленное на корень из р квадрат минус т квадрат.  

• Тангенс гиперболический бета равен отношению шину с бета к косинус бета.  

• Интеграл интегрируется от минус бесконечности до плюс бесконечности.  

• Выносится е в степени минус м корень из р квадрат минус т квадрат.  

• Полученное выражение на косинус альфа.  

• Рассматривается интеграл с константой бета и гиперболическим арктангенсом.  

• Пределы интеграла не меняются при смещении, так как бета - константа.  

• Интеграл преобразуется в косинус и синус от новых переменных.  

• Интеграл заменяется на новую переменную зет.  

• Кошиус бета выражается через р и корень из р квадрат минус т квадрат.  

• Интеграл по зет включает косинус и синус от зет.  

• Рассматриваются симметричные пределы и четные и нечетные функции.  

• Интеграл раскладывается на интеграл от нуля до плюс бесконечности.  

• Функция Макдональда используется для упрощения интеграла.  

• Интеграл упрощается до выражения с м и корнем из р квадрат минус т квадрат.  

• Проверяется поведение функции Макдональда при малых значениях аргумента.  

• Результат соответствует пропагатору для расходящейся волны.  

• Время и координата увязываются через скорость света.  

• Масса умножается на координату для получения импульса.  

• Импульс делится на постоянную Планка для безразмерной величины.  

• Возвращается размерность и находится решение для уравнения Клейна-Фока-Гордона.  

• Решение связано с инвариантной функцией Грина.