Магнитная индукция | Лекция 19 | Электричество и магнетизм | А. В. Смирнов

• Обсуждение магнитной индукции прямого тока.  

• Основные инструменты для исследования магнитного поля: закон Био-Савара-Лапласа и принцип суперпозиции.  

• Формулы магнитной силы Лоренца и силы Ампера.  

• Взаимодействие двух параллельных токов.  

• Определение ампера до 2019 года.  

• Расчет силы взаимодействия двух параллельных токов.  

• Определение магнитной индукции, создаваемой первым током.  

• Формула для расчета силы, действующей на второй ток.  

• Направление и модуль силы взаимодействия.  

• Симметричная формула для силы взаимодействия.  

• Применение третьего закона Ньютона.  

• Определение силы на единицу длины второго провода.  

• Старое определение ампера.  

• Сила взаимодействия двух параллельных токов на расстоянии 1 метр.  

• Измерение силы для определения тока.  

• Слабость магнитного поля прямого тока.  

• Необходимость сильных магнитных полей в лабораториях.  

• Примеры использования сильных магнитных полей в медицине.  

• Расчет магнитного поля кругового витка.  

• Применение закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции.  

• Определение магнитной индукции в точке А.  

• Вклад одного элемента тока равен нулю, деленному на четыре пи, умноженному на силу тока и на векторное произведение дель и радиус-вектора.  

• Векторное произведение направлено в сторону, куда смотрит дель.  

• Поле направлено перпендикулярно плоскости, образованной радиус-вектором и вертикальным отрезком.  

• Поле может смотреть только по оси z.  

• При повороте системы токов магнитная индукция должна оставаться неизменной.  

• Векторы магнитной индукции равны по модулю и направлены вертикально вверх.  

• Полная магнитная индукция равна модулю магнитной индукции от одного элемента, умноженному на косинус угла альфа.  

• Интегрирование по всему кольцу приводит к формуле, включающей радиус и высоту.  

• Поле кольца можно найти по формуле, учитывающей радиус и высоту.  

• Катушки Гельмгольца используются для создания однородного поля.  

• Расстояние между катушками подобрано для минимизации неоднородности поля.  

• Катушки могут использоваться для компенсации магнитного поля земли.  

• Идеальный соленоид состоит из параллельных витков с током, направленным перпендикулярно оси.  

• В реальном соленоиде есть небольшой перекос витков, но его поле пренебрежимо мало.  

• Анализ системы включает представление токов в перпендикулярных плоскостях.  

• Рассматривается длинный соленоид с однородным полем внутри.  

• Поле в точке z0 определяется через интеграл по всем виткам.  

• Используется формула для расчета поля одного витка.  

• Соленоид разбивается на бесконечно тонкие витки.  

• Поле одного витка вычисляется и интегрируется по всем виткам.  

• Угол используется как удобная переменная интегрирования.  

• Каждый виток задается координатами z и dz.  

• Угол фи связан с координатами z и dz.  

• Поле витка определяется через координаты z и dz.  

• Поле витка направлено в сторону тока.  

• Поле сонаправленно для всех витков.  

• Модуль поля вычисляется через ток и плотность намотки.  

• Плотность намотки определяется как число витков на единицу длины.  

• Число витков в поясе вычисляется умножением плотности намотки на ширину пояса.  

• Угол фи связывается с координатами z и dz.  

• Полная индукция вычисляется как интеграл модулей полей витков.  

• Угол фи используется как удобная переменная.  

• Окончательная формула включает косинус и синус.  

• В длинном соленоиде поле в центре равно нулю.  

• Поле на краях соленоида равно половине поля в центре.  

• Поле в середине соленоида более-менее однородно, но выгибается.  

• Формула применима для конечного соленоида с тонкими витками.  

• Поле в центре соленоида можно вычислить через альфа и бета.  

• Формула позволяет рассчитать магнитную индукцию для конечного соленоида.  

• Рассматривается соленоид с конечной длиной и радиусом.  

• Угол альфа и бета дополняют друг друга до 180 градусов.  

• Косинус альфа равен минус косинус бета.  

• Расстояние от центра до витка равно половине длины, деленной на корень из суммы квадратов половины длины и радиуса.  

• Формула для поля в середине: нулевое значение, умноженное на общее число витков, деленное на корень из суммы квадратов диаметра и радиуса.  

• В магнетизме есть теоремы, аналогичные теореме Гаусса в электростатике.  

• Вводится векторный потенциал для упрощения расчетов.  

• Векторный потенциал зависит от радиус-вектора точки наблюдения.  

• Формула: единица, деленная на четыре пи, произведение заряда на скорость, деленное на модуль радиус-вектора.  

• Ротор векторного потенциала равен магнитной индукции.  

• Векторный потенциал используется для упрощения расчетов магнитной индукции.  

• Ротор в декартовых координатах считается через производные по координатам.  

• Константы выносятся за скобки, и выражение переписывается для упрощения.  

• Пример расчета производной по координатам.  

• Производная от единицы на радиус-вектор равна минус икс в кубе.  

• Обсуждение градиента функции и его направления.  

• Пример с модулем радиус-вектора и его градиентом.  

• Градиент модуля радиус-вектора как единичный вектор в направлении радиус-вектора.  

• Вычисление векторного произведения и его компонентов.  

• Пример с магнитной индукцией точечного заряда.  

• Векторное произведение как выражение для магнитной индукции.  

• Объяснение соленоидальных и вихревых полей.  

• Магнитные силовые линии и их особенности.  

• Отсутствие магнитных зарядов и магнитных монополий.  

• Введение векторного потенциала для системы зарядов.  

• Пример с системой зарядов, движущихся в проводнике.  

• Суммирование векторных потенциалов для системы зарядов.  

• Рассмотрение элемента тока как точечного заряда.  

• Средняя скорость носителей и суммирование скоростей.  

• Формула для векторного потенциала элемента тока.  

• Введение вектора плотности тока.  

• Формула для векторного потенциала с учетом вектора плотности тока.  

• Линейная процедура суммирования для всех элементов в объеме.  

• Векторный потенциал для системы токов можно выразить через интеграл по объему.  

• В критической ванне ионы текут по-разному, что требует расчета магнитного поля.  

• Электрические ванны используются в электрохимии для получения металлов и покрытий.  

• Электролиз используется для получения алюминия из расплава соли или оксида алюминия.  

• Гальванопластика позволяет создавать копии сложных рельефов, покрывая их ионами.  

• Хромирование железа создает прочное покрытие, защищающее от окисления.  

• Постоянные магниты создаются из кристаллических решеток, таких как неодимовые магниты.  

• Электролиз не используется для создания магнитов, но может усиливать их свойства.  

• Магниты формируются из порошка, спекаемого при высокой температуре.  

• Для расчета магнитного поля тонких проводников используется интеграл вдоль проводника.  

• Сила тока фиксируется, и потенциал в точке вычисляется через интеграл.  

• Связь между магнитной индукцией и векторным потенциалом линейна.  

• Для стационарных токов дивергенция векторного потенциала равна нулю.  

• Векторный потенциал является линейной комбинацией токов в пространстве.  

• Интеграл по объему можно упростить, заменив переменные.  

• Интегрирование по объему можно заменить на дивергенцию.  

• В случае стационарных токов дивергенция векторного потенциала равна нулю.  

• Это позволяет упростить расчеты магнитного поля.  

• Дивергенция ротора векторного потенциала равна нулю для стационарных токов.  

• Это утверждение помогает в расчетах магнитной индукции в сложных конфигурациях.  

• Дивергенция ротора любого вектора равна нулю.  

• Формально это можно доказать через определитель с двумя совпадающими строками.  

• Смешанное произведение равно объему косого параллелепипеда, и перестановка множителей не меняет результат.  

• Порядок дифференцирования не важен, так как производные коммутируют.  

• Дивергенция ротора равна нулю, что означает, что дивергенция любого вектора также равна нулю.  

• Поля с нулевой дивергенцией называются вихревыми.  

• Теорема Остроградского-Гаусса утверждает, что интеграл дивергенции по объему равен потоку через границы объема.  

• Дивергенция магнитного поля равна нулю, что означает нулевой поток через любую поверхность.  

• Это аналог теоремы Гаусса для магнитного поля.  

• Поток через замкнутую поверхность равен нулю.  

• Интеграл от потока по поверхности не зависит от формы поверхности.  

• Внешняя нормаль для разных поверхностей может быть направлена в разные стороны, но суммарный интеграл равен нулю.