Математический анализ 1 Лекция 1.1: Введение в пределы

• Основы математического анализа включают пределы.  

• Пределы являются основой для выполнения математического анализа.  

• В этом уроке будут рассмотрены реальные математические задачи.  

• Две основные цели математического анализа: вводный курс и определение наклона кривой в определенной точке.  

• Цель номер один: найти наклон кривой в заданной точке.  

• Цель номер один: найти касательную к кривой в определенной точке.  

• Касательная - это линия, пересекающая кривую в одной точке.  

• Цель номер два: найти площадь под кривой между двумя точками.  

• Это невозможно сделать с помощью алгебры или геометрии.  

• Проблема касательной: найти наклон кривой в заданной точке.  

• Для построения касательной линии нужно знать наклон и точку.  

• Секущая линия соединяет две точки кривой.  

• Секущая линия не является касательной, но помогает в решении проблемы касательной.  

• Для построения прямой нужны две точки.  

• Вопрос: является ли точка pq хорошим приближением для касательной?  

• Можно ли улучшить это приближение, перемещая точку q?  

• Если q подвижно, можно ли переместить его ближе к p?  

• Приближение q к p улучшает секущую линию.  

• Если q и p совпадают, это не сработает, так как нужны две разные точки.  

• Приближение q к p делает секущую линию очень близкой к касательной.  

• Важно понимать, что для построения прямой нужны две разные точки.  

• Предел означает, что секущая линия становится идентичной касательной при очень близком приближении q к p.  

• Две точки не могут быть одной и той же точкой дважды.  

• Между любыми двумя точками всегда есть расстояние.  

• Можно приблизить q к p настолько, что секущая линия станет идентичной касательной.  

• Приближение q к p очень близко называется пределом.  

• Предел означает, что секущая линия становится идентичной касательной при очень близком приближении.  

• Это позволяет использовать математический анализ для решения задач.  

• Пример с касательной показывает, как работают ограничения.  

• Важно понимать, что для построения прямой нужны две разные точки.  

• Предел позволяет приблизить секущую линию к касательной, но не достичь её.  

• Найти уравнение касательной к кривой в точке 1,1.  

• Построить касательную линию, используя идею секущей.  

• Создание точки Q с координатами x, y.  

• Использование функции y = x^2 для координат точки Q.  

• Построение секущей линии от P к Q.  

• Уравнение касательной линии: y - y1 = m x - x1.  

• Определение наклона касательной линии.  

• Использование формулы наклона для секущей линии.  

• Наклон секущей линии равен y2 - y1 / x2 - x1.  

• Приближение точки Q к точке P.  

• Наклон секущей линии приближается к наклону касательной линии.  

• Проблема с координатами x и y в точке 1,1.  

• Наклон не определен в этой точке, что делает невозможным приближение Q к P.  

• Контроль качества важен для предотвращения неопределенностей.  

• Деление на ноль приводит к неопределенному наклону.  

• Важно не допускать полного перехода q в p.  

• Если число равно нулю, это можно разложить на множители.  

• Общий множитель x + 1, x - 1, x - 1.  

• Упрощение процедуры без изменения домена.  

• Наклон секущей равен x + 1.  

• Вопросы о смысле формулы и разложении на множители.  

• Переход к следующему пункту без устранения проблемы домена.  

• По мере приближения x к единице, наклон секущей приближается к двум.  

• Предел наклона секущей равен двум.  

• Наклон касательной линии равен двум.  

• Уравнение для касательной линии: y - y1 = 2x - 2.  

• Решение задачи: y = 2x - 1.  

• Построение графика касательной линии.  

• Нахождение площади под кривой между двумя точками.  

• Использование прямоугольников для приближения площади.  

• Бесконечное количество прямоугольников для точного приближения.  

• Предел функции означает, что функция делает при приближении переменной к заданному значению.  

• Ограничения играют ключевую роль в математическом анализе.  

• Вопрос: что происходит с функцией при приближении переменной к заданному значению?  

• Ограничение не в достижении точки, а в том, что происходит при приближении к ней.  

• Пример с функцией x^2: важно понять, что происходит при приближении к 2.  

• Приближение x к 2: важно понять, что происходит с функцией при приближении к 2 с обеих сторон.  

• Пример с числами: 2.1, 2.01, 2.001, 1.9, 1.99, 1.999.  

• Цель: выяснить, приближается ли функция к одному и тому же значению с обеих сторон.  

• Предел функции: важно, чтобы функция приближалась к одному и тому же значению с обеих сторон.  

• Запись предела: предел функции при x, стремящемся к a, равен значению функции.  

• Пример: предел функции x^2 при x, стремящемся к 2, равен 4.  

• Предел функции x-1/x^2-1 при x, стремящемся к 1.  

• Важно понять, что происходит при приближении к 1 с обеих сторон.  

• Пример с таблицей: составление таблицы для нахождения предела функции.  

• Составление таблицы для нахождения предела функции.  

• Важно правильно расположить числа для приближения к 1 с обеих сторон.  

• Пример: 1.5, 1.01, 1.001, 0.5, 0.99, 0.999.  

• Обсуждение нахождения цифр и значений.  

• Пример с числами 6.666 и 0.99.  

• Проверка значений и их стоимости.  

• Проверка значений и их стоимости.  

• Обсуждение пределов и их значения.  

• Пример с числами 1.001 и 0.497.  

• Введение в односторонние пределы.  

• Пример с функцией и значением x.  

• Объяснение правостороннего и левостороннего пределов.  

• Определение пределов для правой и левой стороны функции.  

• Пример с высотой пальца и значением функции.  

• Обсуждение значений функции при приближении к определенному числу.  

• Объяснение, что для существования предела левый и правый пределы должны быть равны.  

• Пример с функцией и значением x.  

• Проверка совпадения значений функции слева и справа.  

• Пример с функцией и значением x.  

• Обсуждение существования предела.  

• Пример с числами 0.5 и 7.  

• Обсуждение важности понимания пределов функций.  

• Пример с функцией, которая полностью реализована при значении 3.  

• Пример с функцией, которая имеет разные значения при приближении к 2 справа и слева.  

• Необходимость нахождения границ справа и слева при приближении к значению x.  

• Задание на самостоятельное определение предела функции при приближении к 2 справа.  

• Пример с функцией, где значение y приближается к 3 при приближении к 2 справа.  

• Задание на самостоятельное определение предела функции при приближении к 2 слева.  

• Пример с функцией, где значение y приближается к 1 при приближении к 2 слева.  

• Объяснение, что если значения не совпадают, предела не существует.  

• Задание на нахождение предела функции h из x при приближении к 5 справа и слева.  

• Объяснение, что важно, к чему приближается значение y при приближении к 5.  

• Пример с функцией, где значения y справа и слева совпадают, что указывает на существование предела.  

• Обсуждение, что происходит с функцией при приближении к нулю.  

• Использование таблицы для определения значений, приближающихся к нулю.  

• Пример с выбором чисел для приближения к нулю справа и слева.  

• Обсуждение темы, выходящей за рамки текущего раздела.  

• Важность ознакомления с ограничениями перед переходом к новому разделу.  

• Пример деления единицы на 0,5 и получение двух.  

• Пример деления единицы на 0,01 и получение 100.  

• Пример деления единицы на 0,001 и получение единицы.  

• Вопрос о том, становится ли число больше или меньше при приближении к нулю.  

• Предел функции при приближении к нулю справа и его значение.  

• Предел функции при приближении к нулю слева и его значение.  

• Предел функции при приближении к числу справа или слева.  

• Асимптоты как результат стремления функции к бесконечности.  

• Четыре случая асимптот и их связь с пределами.  

• Влияние асимптот на график функции.  

• Примеры графиков для разных случаев асимптот.  

• Вопросы о том, как асимптоты влияют на график.  

• Подведение итогов по теме ограничений.  

• Обучение вычислению ограничений.  

• Вопросы от студентов и ответы на них.