Математический анализ 1 Лекция 1.1: Введение в пределы

• Обсуждение основ математического анализа и роли пределов.  

• Пределы являются основой для выполнения математического анализа.  

• Переход к более углублённому изучению реальных математических задач.  

• Две основные цели: определение наклона кривой в определённой точке и нахождение площади под кривой между двумя точками.  

• Задача: найти наклон кривой в заданной точке.  

• Касательная к кривой в точке определяет её наклон.  

• Вопрос: можно ли найти площадь под кривой между двумя точками?  

• Геометрические методы не подходят для решения этой задачи.  

• Определение проблемы касательной: найти наклон кривой в заданной точке.  

• Проблема: как составить уравнение касательной, если известна только одна точка?  

• Секущая линия соединяет две точки кривой.  

• Секущая линия не является касательной.  

• Для построения прямой нужны две точки.  

• Касательная к точке P — конечная цель.  

• Вопрос: является ли точка PQ хорошим приближением для касательной?  

• Обсуждается возможность улучшения приближения секущей к касательной путём перемещения точки Q.  

• Рассматривается влияние перемещения Q на близость секущей к касательной.  

• Приближение Q к P улучшает соответствие секущей касательной, но не позволяет сделать Q равным P, так как для построения прямой нужны две разные точки.  

• Подчёркивается важность наличия двух разных точек для построения прямой.  

• Объясняется идея ограничения: насколько близко можно приблизить одну точку к другой, чтобы они не были одной и той же точкой.  

• Между любыми двумя точками всегда есть промежуток, который можно заполнить другой точкой.  

• Идея ограничения лежит в основе математического анализа.  

• Приближение значения P или Q очень близко к значению P называется пределом.  

• Предел означает максимальное приближение, но без достижения точки.  

• Это ключевой concept в математическом анализе.  

• Предлагается пример нахождения точки искривления серебряного провода.  

• Цель — показать, как работают ограничения и математический анализ на примере знакомой задачи.  

• Повторение важности наличия двух точек для построения прямой.  

• Подготовка к дальнейшему изучению математического анализа.  

• Найти уравнение касательной к кривой в точке 1,1.  

• Обозначить точку 1,1 как «р».  

• Создать точку Q с координатами x, x².  

• Использовать переменные x и x² вместо x и y.  

• Построить секущую линию от p к q.  

• Любая точка на секущей линии будет иметь координаты x, x².  

• Уравнение касательной прямой: y - y1 = m x - x1.  

• Наклон касательной линии равен m.  

• Определить наклон касательной через наклон секущей.  

• Использовать формулу наклона: y2 - y1 / x2 - x1.  

• При приближении q к p наклон секущей приближается к наклону касательной.  

• Проблема: при x = 1 наклон не определён.  

• При x = 1 наклон секущей равен 0, что делает его неопределённым.  

• Невозможно допустить, чтобы q равнялось p, так как это приведёт к неопределённости.  

• Попытка найти наклон последовательности в точке может привести к неопределённому результату из-за деления на ноль.  

• Необходимо предотвратить полное пересечение q и p, чтобы избежать неопределённого наклона.  

• Число, равное нулю, можно разложить на множители.  

• Общий множитель для двух многочленов даёт x + 1, x - 1.  

• Разложение на множители упрощает процедуру.  

• Ограничение x не равно единице позволяет избежать проблем с доменом.  

• Наклон секущей равен x + 1.  

• При приближении x к единице наклон секущей становится ближе к двум.  

• Предел наклона секущей равен двум.  

• Наклон касательной линии равен двум.  

• Уравнение касательной: y = 2x - 1.  

• Использование ограничений позволяет найти касательную к кривой в определённой точке.  

• Математический анализ включает изучение пределов.  

• Площадь под кривой между двумя точками можно найти с помощью математического анализа.  

• Прямоугольники позволяют приблизить площадь кривой.  

• Бесконечно малые прямоугольники дают идеальное приближение к площади.  

• Ограничения позволяют достичь бесконечности.  

• Предел функции определяет, что функция делает, когда переменная приближается к заданному значению.  

• Обсуждение поведения функции при приближении переменной к заданному значению.  

• Подчёркивается, что важно не само значение функции в точке, а то, как она ведёт себя при приближении к ней.  

• Пример с функцией x² иллюстрирует, как функция может приближаться к определённому значению.  

• Рассмотрение поведения функции x² при приближении x к 2.  

• Анализ значений функции для различных значений x, близких к 2.  

• Проверка, приближается ли функция к одному и тому же значению с обеих сторон.  

• Функция должна приближаться к одному и тому же значению слева и справа для существования предела.  

• Объяснение записи предела функции: использование стрелки и значения, к которому приближается функция.  

• Пример записи предела: $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$.  

• Предел не зависит от достижения x значения a.  

• Важно, как функция ведёт себя при приближении к a с обеих сторон.  

• Пример с функцией $\frac{x - 1}{x^2 - 1}$ показывает, что при x = 1 функция становится неопределённой.  

• Использование таблицы для нахождения предела функции.  

• Важность правильного выбора значений x для анализа поведения функции.  

• Пример составления таблицы: выбор значений x, близких к 1, и их анализ.  

• Задание на самостоятельное нахождение значений x и вычисление значений функции.  

• Проверка тенденции поведения функции при приближении к 1 с обеих сторон.  

• Обсуждение результатов и их анализ.  

• Обсуждение чисел 6.666 и 0.99.  

• Проверка значений на калькуляторе.  

• Перепроверка значений 0.99 и 0.5.  

• Упоминание о научной записи в калькуляторе.  

• Объяснение, как определить предел функции.  

• Пример с числами 0.5 и 0.503.  

• Введение в правосторонние и левосторонние пределы.  

• Пример с функцией, приближающейся к 2.  

• Определение правостороннего предела.  

• Использование знака «+» для обозначения правой стороны.  

• Определение левостороннего предела.  

• Знак «-» для обозначения левой стороны.  

• Необходимость равенства левостороннего и правостороннего пределов для существования предела.  

• Вывод о том, что предела не существует, если они не равны.  

• Повторение условия существования предела: одинаковые значения функции слева и справа.  

• Пример с числами 0.5 и 7 для иллюстрации условия.  

• Обсуждение важности понимания пределов функций.  

• Пример с ограничением в три балла неинтересен, так как функция полностью реализована и предел очевиден.  

• Интереснее рассматривать случай с ограничением в два балла.  

• Необходимость нахождения границ справа и слева при приближении к значению x, равному двум.  

• Задание на определение предела функции g для x при приближении к двум справа.  

• Вопрос о значении y при приближении x к двум справа.  

• Ответ: значение y приближается к трём.  

• Задание на определение предела функции g для x при приближении к двум слева.  

• Ответ: значение y приближается к единице.  

• Сравнение значений y справа и слева показывает, что они не совпадают.  

• Вывод: предела не существует, так как значения не совпадают.  

• Задание на нахождение предела функции h из x при приближении к пяти справа и слева.  

• Определение существования предела при x равно пяти.  

• Обсуждение значений y справа и слева от пяти.  

• Вывод: предел существует, так как значения совпадают.  

• Вопрос о поведении функции при приближении к нулю.  

• Использование таблицы для анализа правостороннего и левостороннего ограничений.  

• Выбор чисел, приближающихся к нулю справа и слева.  

• Примеры чисел: 0,5, 0,01, 0,001.  

• Подчёркивание важности выбора правильных чисел для анализа.  

• Обсуждение темы, которая выходит за рамки текущего раздела.  

• Упоминание о необходимости ознакомления с ограничениями перед переходом к следующему разделу.  

• Пример деления 1 на 0,5: результат — 2.  

• Пример деления 1 на -0,5: результат — -2.  

• Пример деления 1 на 0,01: результат — 100.  

• Вопрос о том, становится ли число больше или меньше при приближении к нулю справа.  

• Объяснение, что при делении на всё меньшие числа результат стремится к бесконечности.  

• Определение предела функции при приближении к нулю справа как положительной бесконечности.  

• Объяснение, что при приближении к нулю слева предел функции — отрицательная бесконечность.  

• Введение понятия асимптоты как линии, к которой функция стремится при приближении к пределу.  

• Описание четырёх случаев асимптот в зависимости от направления приближения к точке a.  

• Примеры графиков для каждого случая.  

• Обсуждение влияния пределов на форму графика функции.  

• Примеры графиков для разных случаев приближения к точке a.  

• Подведение итогов обсуждения пределов.  

• Объяснение, как вычислять пределы на практике.  

• Ответ на вопрос о существовании предела при совпадении левостороннего и правостороннего пределов.  

• Проверка понимания материала.  

• Переход к вычислению пределов на примерах.