Монотонные последовательности и ограниченные последовательности - Математический анализ 2

• Монотонная последовательность всегда движется в одном направлении.  

• Для увеличения последовательности: 1-й член меньше или равен 2-му, 2-й член больше или равен 1-му и т.д.  

• Для уменьшения последовательности: 1-й член больше или равен 2-му, 2-й член больше или равен 3-му и т.д.  

• Пример увеличения монотонной последовательности.  

• Пример уменьшения монотонной последовательности.  

• Пример последовательности, которая не является монотонной.  

• Последовательность a под n равна трем n, деленным на n плюс два.  

• Определение общего поля для последовательности.  

• Доказательство увеличения монотонной последовательности.  

• Упрощение выражения и доказательство неравенства.  

• Исключение члена n в квадрате и доказательство истинности утверждения.  

• Последовательность a под n равна трем над четырьмя, возведенным в степень n.  

• Определение первых четырех слагаемых.  

• Доказательство уменьшения монотонной последовательности.  

• Последовательность ограничена сверху, если она меньше или равна некоторому значению.  

• Последовательность ограничена снизу, если она больше или равна некоторому значению.  

• Последовательность ограничена, если она ограничена сверху и снизу.  

• Ограниченная последовательность может быть монотонной и сходиться.  

• Пример колеблющейся последовательности, ограниченной сверху и снизу.  

• Последовательность сходится, если она монотонна и ограничена.  

• Пример: последовательность, где a_n = 1/n^2.  

• Последовательность монотонно уменьшается, что можно доказать графически или взяв первую производную.  

• График функции показывает уменьшение.  

• Первая производная функции отрицательна, что подтверждает уменьшение.  

• Доказательство через неравенство: предыдущий член больше следующего.  

• Последовательность ограничена сверху и снизу.  

• График показывает, что последовательность ограничена снизу нулем.  

• Последовательность сходится, так как она монотонна и ограничена.  

• Предел последовательности при n стремящемся к бесконечности определяет сходимость.  

• Пример: предел последовательности a_n^2 равен нулю, что указывает на сходимость.  

• Последовательность синусов ограничена, но не монотонна.  

• Последовательность не монотонна, поэтому она расходится.  

• Последовательность сходится, так как предел при n стремящемся к бесконечности равен нулю.  

• Последовательность монотонно уменьшается, начиная со второго члена.  

• Доказательство монотонности через неравенство: предыдущий член больше следующего.  

• Последовательность изначально увеличивается, но с 2-го семестра начинает уменьшаться.  

• Последовательность монотонно уменьшается, начиная с n, равного или превышающего два.  

• Последовательность ограничена сверху на отметке 4,5 и снизу на отметке ноль.  

• Последовательность ограничена и монотонна, что делает её сходящейся.  

• Предел последовательности при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю.  

• График показывает, что последовательность сходится к оси x.