Лекция 6 по курсу "Дифференциальные уравнения"

• Курс обыкновенных дифференциальных уравнений продолжается.  

• Введение в нормальные автономные системы.  

• Основные понятия и определения.  

• Нормальная система в форме Коши.  

• Независимая переменная т и зависимая переменная икс.  

• Правая часть уравнения зависит только от икс.  

• Автономные системы в литературе.  

• Независимая переменная т и зависимая переменная игрек.  

• Поле скоростей в пространстве рн икс.  

• Фазовые переменные икс и игрек.  

• Фазовое пространство и его свойства.  

• Поле скоростей стационарно.  

• Геометрическая интерпретация решения.  

• Кинематическая интерпретация как закон движения.  

• Автономные системы и их свойства.  

• Проекция интегральной кривой на фазовое пространство.  

• Фазовые траектории и их свойства.  

• Примеры фазовых траекторий.  

• Фазовый портрет как совокупность фазовых траекторий.  

• Изучение фазового портрета.  

• Практическое применение.  

• Свойство 1: Сдвиг по времени.  

• Свойство 2: Общие точки фазовых траекторий.  

• Совпадение траекторий при определенных условиях.  

• Рассматривается система с двумя фазовыми траекториями.  

• Если траектории проходят через одну точку, они совпадают.  

• Это свойство важно учитывать при рисовании фазовых портретов.  

• Для неавтономных систем это свойство не всегда выполняется.  

• Пример системы с зависимой от времени правой частью.  

• Решение системы можно выразить через независимую переменную.  

• Автономную систему можно сделать автономной, расширив фазовое пространство.  

• Введение новой переменной, совпадающей со временем.  

• Это позволяет получить систему с ненулевыми решениями.  

• Положение равновесия определяется как точка с нулевой скоростью.  

• Если точка является положением равновесия, то она является решением системы.  

• Фазовая траектория в положении равновесия состоит из одной точки.  

• Любая фазовая траектория, отличная от положения равновесия, является гладкой кривой.  

• В каждой точке такой траектории существует ненулевой касательный вектор.  

• Фазовая траектория не может войти в положение равновесия за конечное время.  

• Фазовая траектория может лишь приближаться к положению равновесия.  

• Из положения равновесия выйти невозможно, так как фазовая скорость равна нулю.  

• Если решение системы имеет точку самопересечения, то это периодическое движение.  

• Существует наименьший положительный период, называемый главным периодом.  

• Фазовая траектория в этом случае является замкнутой кривой без самопересечения.  

• Для любого положительного эпсилон найдется дельта, зависящая от эпсилон, такая, что для любых значений независимой переменной из промежутка т один минус дельта т один плюс дельта, фи от т минус фи от т один будет меньше дельта.  

• Можно взять эпсилон равным р а так как, что гарантирует, что фи от т не совпадает с фи от т со звездочкой для любых значений т из промежутка т один минус дельта т один плюс дельта.  

• За период т константа, т два минус т один, решение должно пройти через все точки своей траектории.  

• Константа ц не меньше длины промежутка от т один минус дельта до т один плюс дельта, что делает периоды не меньше двух дельта.  

• Множество периодов ограничено снизу, и существует точная нижняя грань, обозначенная за т со звездочкой.  

• Если т со звездочкой не является периодом, то фи от т не равно фи от т плюс т со звездочкой.  

• Строится последовательность периодов те-и-т, ограниченная снизу, и переходит к пределу при т со звездочке.  

• Получаем противоречие, что доказывает, что т со звездочкой является периодом.  

• Доказано, что фазовая траектория замкнута.  

• Рассматривается промежуток от нуля до т со звездочки, где фи от нуля равняется фи от т со звездочкой.  

• Если существуют т три и т четыре, такие что фи от т три равняется фи от т четыре, то существует период, не превышающий т со звездочкой, что противоречит минимальности т со звездочки.  

• Фазовая траектория автономной системы принадлежит одному из трех типов: положение равновесия, замкнутая траектория, траектория без самопересечений.  

• Замкнутая траектория относится к центру, а траектория без самопересечений — к фокусу.  

• Доказательство леммы: если энная компонента правой части системы отлична от нуля, то решение задачи Кашина дает параметрическое представление решения в окрестности точки т ноль.  

• Решение строго монотонно, и существует обратная функция в окрестности точки т ноль, что позволяет определить интегральную кривую системы.  

• Интегральная кривая, близкая к ней при т рав