Алгебра 2. Лекция 6. Городенцев А. Л.

• Линейные операторы на конечном векторном пространстве над полем К однозначно определяются набором элементарных делителей.  

• Элементарные делители - это многочлены, которые делят оператор.  

• Оператор с инвариантными множителями имеет блочную матрицу, состоящую из фробениусовых клеток.  

• Жорданова клетка - это матрица, которая выглядит как главная диагональ, над главной диагональю стоят единички, а дальше идут последовательности единиц и нулей.  

• Если многочлен, определяющий оператор, является линейным, то вместо жордановой клетки пишут жорданову клетку с лямбда.  

• Важным приложением знаний о линейных операторах является возможность вычислять функции от матрицы.  

• Функция от матрицы - это такая алгебра, где выполняются определенные соотношения.  

• Например, можно найти корень из матрицы или подобрать матрицу, которая в квадрате равна исходной.  

• Вводится понятие гомоморфизма, который переводит многочлен в матрицу.  

• Обсуждаются возможности продолжения гомоморфизма на большую алгебру, например, алгебру аналитических функций.  

• Предполагается, что оператор имеет только линейные элементарные делители.  

• Алгебра многочленов должна содержаться в алгебре функций, определенных в каждой точке спектра и обладающих рядом свойств.  

• Доказывается теорема о единственности продолжения гомоморфизма алгебры многочленов на оператор.  

• Оператор на каждом корневом подпространстве действует как некоторый многочлен.  

• В видео обсуждается интерполяция - процесс вычисления функции по заданным значениям в разных точках.  

• Гомоморфизм - отображение, сохраняющее структуру алгебры.  

• Задача интерполяции с кратными узлами - подобрать многочлен, который имеет заданные значения и производные в заданных точках.  

• Решение такой задачи сводится к системе линейных уравнений.  

• Извлечение корня из вещественной матрицы с собственным числом минус один возможно в некоторых случаях, например, если алгебра не вещественная, а комплексная.  

• В общем случае, если способ интерполяции не позволяет найти матрицу с заданными свойствами, это не означает, что такой матрицы не существует.  

• Задача о возвратных последовательностях, где нужно найти решение уравнения с коэффициентами, зависящими от предыдущих членов последовательности.  

• Решение основано на умножении последовательности на подходящую матрицу, чтобы сдвинуть ее на один шаг.  

• Задача о многочленах, где нужно найти коэффициенты для функции, которая возводит матрицу в степень.  

• Решение основано на использовании характеристического многочлена и правила Крамера.  

• Задача о лемме, которая утверждает, что для любого алгебраически замкнутого поля и характеристики, отличной от двух, существует многочлен, степень которого меньше, чем у матрицы, такой, что квадрат этого многочлена равен матрице.  

• Решение основано на разложении функции корень из т в степенной ряд и использовании биномиального коэффициента.