4 Сколько корней у кубического уравнения и как их найти

• В отличие от квадратных уравнений, кубические уравнения могут иметь один, два или три вещественных корня.  

• Доказательство существования корней основано на непрерывности функции и пересечении графика функции с осью абсцисс.  

• График функции представляет собой непрерывную линию, которая пересекает ось абсцисс в точках, соответствующих корням уравнения.  

• Доказательство основано на том, что при больших значениях икс, слагаемые в скобках становятся малыми по сравнению с единицей, что приводит к положительному значению функции.  

• Если непрерывная функция принимает два разных значения при двух разных икс, то она принимает и все промежуточные значения.  

• Это означает, что кубическое уравнение всегда имеет хотя бы один вещественный корень.  

• В видео обсуждается, сколько корней может иметь алгебраическое уравнение четвертой, пятой и более высоких степеней.  

• Для каждого случая перечисляются все варианты и доказывается, что они действительно встречаются для тех или иных уравнений.  

• Доказывается, что если модуль икс больше максимума, то эф от икс или больше нуля, или меньше нуля.  

• Это позволяет локализовать корни кубических уравнений и найти их количество.  

• Формула Кардана позволяет найти один корень кубического уравнения, когда д больше нуля.  

• Если д меньше нуля, то под квадратным корнем в формуле Кардана оказывается отрицательное число, что требует использования комплексных чисел.  

• Формула Кардана позволяет найти все корни кубического уравнения, так как у каждого комплексного числа есть несколько кубических корней.  

• В видео объясняется, как перемножить два комплексных числа, используя известные формулы синуса, суммы и косинуса суммы.  

• При возведении комплексного числа в квадрат, модуль должен быть возведен в квадрат, а аргумент удвоен.  

• При возведении в куб, модуль должен быть возведен в куб, а аргумент умножен на три.  

• Это называется формулой Муавра.  

• Также объясняется, как найти корни энной степени комплексного числа, используя формулу Муавра.  

• Формула Кардана позволяет найти все корни кубического уравнения, не теряя ни одного корня.  

• В видео используется равносильное преобразование для доказательства этого утверждения.  

• Формула Кардана не дает лишних корней и всегда дает все комплексные корни кубического уравнения.  

• Рассматривается кубическое уравнение икс в кубе плюс три икс минус четыре равно нулю и его свободный член минус четыре.  

• Перебираются делители свободного члена, икс равен один, и уравнение делится на икс минус один без остатка.  

• Получаем икс равен один - единственный вещественный корень уравнения, и есть еще два комплексных корня.  

• Если все коэффициенты уравнения целые, то можно найти и рациональные корни.  

• Если у кубического уравнения есть хотя бы один вещественный корень, то можно определить количество вещественных корней с помощью дискриминанта.  

• Формула Кардана работает всегда и правильно находит корни кубического уравнения.  

• Однако, если корни выражены в неудобной форме, то может быть сложно доказать их равенство.  

• Школьный способ решения кубических уравнений остается полезным дополнительным инструментом, так как формула Кардана может давать корни в виде сложных выражений.