Сложная функция. Суперпозиция. Свойства непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса. Лекция №11

• Обсуждение непрерывности функций в точке и локальных свойств.  

• Арифметические операции для непрерывных функций приводят к непрерывным функциям.  

• Важная теорема о локальных свойствах непрерывных функций.  

• Введение в теорему о сложной функции или суперпозиции.  

• Пример функции x = sin t, которая является сложной функцией.  

• Формулировка теоремы: суперпозиция непрерывных функций также непрерывна.  

• Доказательство теоремы через непрерывность функций.  

• Пример с функцией логарифма от косинуса.  

• Последовательность точек сходится к точке, что доказывает непрерывность сложной функции.  

• Примеры суперпозиции непрерывных и разрывных функций.  

• Примеры, показывающие, что суперпозиция может быть как непрерывной, так и разрывной.  

• Примеры с функциями Дирихле и их суперпозициями.  

• Введение в теорему о сохранении знака.  

• Формулировка теоремы: если функция непрерывна и имеет определенный знак в точке, то этот знак сохраняется в окрестности этой точки.  

• Пример с функцией ipad x и её непрерывностью и знаком в точке.  

• Функция сохраняет знак в окрестности точки, если она непрерывна в этой точке.  

• Пример: если f от x 0 положительно, то в окрестности точки x 0 функция также будет положительной.  

• Доказательство: для любого эпсилон существует дельта, что f от x отличается от f от x 0 не более чем на эпсилон.  

• Функция f от x может сохранять знак в окрестности точки x 0, но величина дельта зависит от выбранной точки.  

• Пример: функция, равная x, если x рациональное число, и 0, если x иррациональное, сохраняет знак в окрестности точки 0.  

• В точке 0 функция непрерывна, так как предел функции одинаков для рациональных и иррациональных точек.  

• Функция f от x может быть непрерывной в одной точке, но разрывной в других.  

• Пример: функция 1 + x, непрерывная в точке 0, сохраняет знак в окрестности этой точки.  

• Доказательство: для любого эпсилон существует дельта, что значение функции в дельта-окрестности не отличается от значения в точке более чем на эпсилон.  

• Функция сохраняет знак в окрестности точки непрерывности, но не в точках разрыва.  

• Пример: функция, непрерывная в точке -3, сохраняет знак в окрестности, но не во всей полосе.  

• Теорема о сохранении знака гарантирует сохранение знака в точках непрерывности, но не в точках разрыва.  

• Функция, непрерывная на сегменте, пересекает ось x хотя бы один раз.  

• Пример: если функция f от x непрерывна на сегменте a b и f от b меньше нуля, то найдется точка c, где f от c равно нулю.  

• Теорема: функция, непрерывная на сегменте, не может проскочить через ноль.  

• Теорема о сохранении знака обобщается на одностороннюю непрерывность.  

• Пример: если функция непрерывна справа в точке a, то она сохраняет знак в правой полуокрестности точки a.  

• Аналогично для левой полуокрестности: если функция непрерывна слева в точке b, то она сохраняет знак в левой полуокрестности точки b.  

• Окрестности точек a и b зависят от функции.  

• Множество x ограничено и имеет точную верхнюю грань c.  

• Функция f от x не сохраняет знак в точке c.  

• Функция f от x не может быть ни положительной, ни отрицательной в точке c.  

• Единственный возможный результат: f от c равно нулю.  

• Теорема доказана.  

• Функция f от x непрерывна на сегменте a.b.  

• Для любого значения гамма между f от a и f от b существует точка c, где f от c равно гамма.  

• Доказательство через пересечение графика функции с горизонтальной прямой.  

• Функция f от x непрерывна и ограничена на сегменте a.b.  

• Доказательство от противного: если функция не ограничена, то существует последовательность xn, сходящаяся к бесконечности.  

• Последовательность xn сходится к конечному пределу, что противоречит предположению о неограниченности функции.  

• Функция f от x = x не ограничена на всей числовой прямой.  

• Функция f от x = 1 на множестве x не ограничена, так как множество не замкнуто.  

• Пример с последовательностью xn, где f от xn больше n, показывает, что функция не ограничена на замкнутом множестве.  

• Последовательность сходится к точке, принадлежащей сегменту.  

• Теорема Вейерштрасса гарантирует ограниченность функции на замкнутом множестве.  

• Функция может быть непрерывной на множестве, но неограниченной.  

• Функция ограничена в маленькой окрестности точки.  

• Теорема Вейерштрасса касается ограниченности на всем множестве.  

• Функция f от x непрерывна на сегменте a, b.  

• Существуют x сверху и x снизу, такие что f от x сверху равно sup f и f от x снизу равно inf f.  

• Функция достигает максимума и минимума на сегменте.  

• Функция f от x имеет sup f.  

• Построена последовательность xn, сходящаяся к x.  

• Функция f от x n сходится к f от x, что доказывает существование точки c, где функция достигает максимума.  

• Пример функции f от x = x на интервале 0, 1.  

• Теорема Вейерштрасса не действует для интервалов.  

• Функция арктангенс x непрерывна на всей числовой прямой, но не достигает своих границ.  

• Функция f от x непрерывна на сегменте a, b.  

• Для любого значения гамма между минимумом и максимумом функции, существует точка c, где f от c равно гамма.  

• Функция пробегает все значения между минимумом и максимумом на сегменте.  

• Функция непрерывна на сегменте и отображает сегмент на сегмент.  

• Вопросы о подпоследовательностях и их сходимости.  

• Определение окрестности точки и примеры функций.