Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Часть 2

• В видео объясняется, что экстрем и функции - это максимум или минимум функции, и они не обязательно должны совпадать с наибольшим или наименьшим значением функции.  

• В точке экстремума производная должна быть равна нулю, и чтобы существовал максимум, производная должна менять знак с плюса на минус, а чтобы был минимум, производная должна менять знак с минуса на плюс.  

• Для нахождения промежутков монотонности функции, нужно исследовать производную на наличие корней и знаки производной на интервалах.  

• Если при переходе через точку экстремума производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке максимум, а если производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке минимум.  

• В видео также объясняется, как найти промежутки монотонности функции без построения графика.  

• Исследуется производная функции, которая является тригонометрической функцией.  

• Производной от синуса является косинус, и приравнивается к нулю для нахождения корней.  

• Корни находятся в точках, где косинус равен нулю, и это точки, где производная обращается в ноль.  

• Производные меняют знак при переходе через эти точки, и это точки экстремума.  

• В первой четверти косинус положительный, во второй четверти - отрицательный, в третьей четверти - тоже отрицательный, в четвертой четверти - положительный.  

• Вращение происходит против часовой стрелки, и при переходе через первую точку производной, меняя знак с плюса на минус, это точка максимума, а при переходе через вторую точку, меняя знак с минуса на плюс, это точка минимума.  

• На графике изображается синусоида, и отмечаются точки экстремума.  

• В точке пи пополам производный меняется с плюса на минус, и это точка максимума.  

• В точке минус пи пополам производный меняется с минуса на плюс, и это точка минимума.  

• Эти точки повторяются через каждые 360 градусов.  

• Находится производная многочлена пятой степени, и приравнивается к нулю.  

• Полученное уравнение четвертой степени распадается на два уравнения, и находятся две точки экстремума: ноль и единица.  

• Определяются знаки производной на интервалах между этими точками, и делается вывод, что ноль - это точка максимума, а единица - точка минимума.  

• Промежутки монотонности функции: функция возрастает на промежутках от минус бесконечности до нуля и от единицы до плюс бесконечности, а убывает на промежутке от нуля до единицы.