Математика. Линейная алгебра. Квадратичные формы: канонический вид и свойства

• Квадратичная форма может быть преобразована в канонический вид.  

• Канонический вид содержит только квадраты переменных.  

• Матрица квадратичной формы в каноническом виде диагональная.  

• Пример: уравнение поверхности второго порядка.  

• Квадратичная часть уравнения задана в каноническом виде.  

• Закон инерции квадратичных форм: коэффициенты перед квадратами одинаковы в разных канонических видах.  

• Пример: квадратичная форма в неканоническом виде.  

• Приведение к каноническому виду требует выделения полных квадратов.  

• Закон инерции важен для уравнений кривых и поверхностей второго порядка.  

• Квадратичная форма может принимать положительные и отрицательные значения.  

• Положительно определенная форма принимает строго положительные значения.  

• Нестрогая знакоопределенность: форма принимает значения больше или равно нулю, но существует набор переменных, на котором она равна нулю.  

• В каноническом виде: положительно определенная форма имеет положительные коэффициенты перед квадратами.  

• Неканонический вид: диагональные элементы матрицы должны быть положительными.  

• Теорема: положительно определенная форма в неканоническом виде имеет положительные диагональные элементы.  

• Положительно определенная форма имеет положительные угловые миноры.  

• Для отрицательной определенности миноры чередуют знаки.  

• Пример: квадратичная форма с четырьмя переменными может быть нестрого положительно определена.