Введение в математический анализ 27. Интеграл Дарбу

• Определение интеграла Римана как предела интегральных сумм.  

• Определение интеграла Дарбу как суммы Дарбу, отвечающей разбиению отрезка.  

• Верхняя сумма Дарбу является супремумом всех интегральных сумм, нижняя сумма Дарбу - инфимумом.  

• Доказательство леммы о верхней и нижней суммах Дарбу.  

• Лемма о том, что верхняя и нижняя суммы Дарбу не убывают и не строго возрастают при измельчении разбиения.  

• Оценка изменения верхней и нижней сумм Дарбу при измельчении разбиения.  

• Автор доказывает неравенство, используя свойства супремума и супрема модуля функции.  

• Он также доказывает, что все величины не отрицательны и не превосходят супрема на всем множестве.  

• Автор оценивает разность между двумя величинами, используя неравенства, доказанные ранее.  

• Он заменяет общий множитель на сумму двух величин и получает оценку для разности.  

• Автор доказывает базу индукции, используя неравенства для верхних и нижних сумм.  

• Он доказывает, что оценка верна для добавления м точек, если она верна для добавления м-1 точек.  

• Автор доказывает общий случай индукцией, используя базу индукции.  

• Он доказывает, что оценка верна для добавления м точек, если она верна для добавления м-1 точек.  

• Верхний и нижний интегралы Дарбу связаны с верхними и нижними суммами Дарбу.  

• Верхний интеграл Дарбу - это имфиму по всем разбиениям, нижний - супрем по всем разбиениям.  

• Лемма утверждает, что для любого положительного числа эпсилон найдется положительное число дельта, такое что для любого разбиения с мелкостью меньше дельта выполнено неравенство.  

• Доказывается, что если к разбиению добавить не более чем m точек, то верхняя сумма Дарбу, соответствующая новому разбиению, будет меньше или равна верхней сумме Дарбу, соответствующей исходному разбиению, умноженной на эпсилон пополам.  

• Аналогично, нижняя сумма Дарбу, соответствующая новому разбиению, будет больше или равна нижней сумме Дарбу, соответствующей исходному разбиению, умноженной на эпсилон пополам.  

• Теорема Дарбу: функция ограничена на отрезке, интегрируема по Риману, если верхний и нижний интегралы совпадают.  

• Доказательство необходимости: функция интегрируема, верхний и нижний интегралы совпадают.  

• Доказательство достаточности: верхний и нижний интегралы совпадают, функция интегрируема.  

• Определение осцилляции функции: супремум модулей разности по всем парам из области определения.  

• Следствие: если функция ограничена на отрезке и осциллирует, то она интегрируема по Риману.  

• Вводится понятие "омега-сумма", которая является разностью между верхней и нижней суммой Дарбу.  

• Омега-сумма связана с колебаниями функции на отрезке разбиения.  

• Необходимость: если функция интегрируема, то найдется разбиение, что соответствующая омега-сумма будет меньше заданного числа.  

• Достаточность: если для любого числа эпсла найдется разбиение, что соответствующая омега-сумма меньше эпсла, то функция интегрируема.