Лекция 4 (Формула полной вероятности. Формула Байеса)

• Курс лекций по дисциплине "Высшая математика" раздел "Теория вероятности и математическая статистика".  

• Лектор: Бредихина Ольга Александровна.  

• Лекция 4: Формула полной вероятности и формула Байеса.  

• Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.  

• События образуют полную группу, если они единственно возможные и несовместные исходы испытания.  

• Сумма вероятностей событий в полной группе равна единице.  

• Событие А может наступить при одном из двух несовместных событий Б1 и Б2.  

• Вероятность гипотезы Б1 равна 2/5, а условная вероятность А при условии Б1 равна 3/7.  

• Найти условную вероятность А при условии Б2.  

• В первой урне 2 белых и 8 черных шаров, во второй 3 черных и 7 белых.  

• Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.  

• Решение с использованием схемы урн.  

• В сборочный цех поступает 40% деталей из первого цеха и 60% из второго.  

• В первом цехе 90% стандартных деталей, во втором 95%.  

• Найти вероятность того, что взятая деталь окажется стандартной.  

• В коробке 4 новых и 2 использованных теннисных мяча.  

• Найти вероятность того, что для второй игры будут вытянуты два новых мяча.  

• Решение с использованием схемы и гипотез.  

• Рассматриваются различные варианты событий.  

• Вводятся обозначения для новых и старых мячей.  

• Рассчитываются вероятности для каждой гипотезы.  

• Вероятность первого мяча нового: 4/6.  

• Вероятность второго мяча нового: 3/5.  

• Вероятность гипотезы 1: 2/5.  

• Вероятность первого мяча нового: 4/6.  

• Вероятность второго мяча старого: 2/5.  

• Вероятность гипотезы 2: 8/15.  

• Вероятность первого мяча старого: 2/6.  

• Вероятность второго мяча старого: 1/5.  

• Вероятность гипотезы 3: 1/15.  

• Вероятность двух новых мячей при условии первой гипотезы: 1/15.  

• Вероятность двух новых мячей при условии второй гипотезы: 1/5.  

• Вероятность двух новых мячей при условии третьей гипотезы: 2/5.  

• Общая формула для трех гипотез.  

• Подстановка значений и расчет вероятности.  

• Итоговая вероятность: 0.16.  

• Расчет вероятностей с использованием формулы комбинаторики.  

• Вероятность первой гипотезы: 2/5.  

• Вероятность второй гипотезы: 8/15.  

• Вероятность третьей гипотезы: 1/15.  

• Вероятность двух новых мячей при условии первой гипотезы: 2/2.  

• Вероятность двух новых мячей при условии второй гипотезы: 1/3.  

• Вероятность двух новых мячей при условии третьей гипотезы: 2/4.  

• Введение в формулу Байеса.  

• Переоценка вероятностей гипотез после опыта.  

• Примеры задач, относящихся к формуле Байеса.  

• Пример с шарами: найти вероятность черного шара из первой урны.  

• Пример с деталями: найти вероятность стандартной детали из второго цеха.  

• Для нахождения вероятности события B при условии выполнения события A используется формула Байеса.  

• В знаменателе записывается вероятность по формуле полной вероятности, а в числителе - вероятность, относящаяся к первой гипотезе.  

• Пример: вероятность того, что деталь поступила из первого цеха, равна 8/11.  

• В сборочный цех поступает 40% деталей из первого цеха и 60% из второго.  

• В первом цехе производится 90% стандартных деталей, во втором - 95%.  

• Вероятность того, что стандартная деталь поступила из второго цеха, обозначается P[B2|A].  

• Пример: вероятность того, что деталь поступила из второго цеха при условии, что она стандартная, равна 19/31.  

• В коробке находятся 4 новых и 2 использованных теннисных мяча.  

• Для первой игры берут два мяча, а затем возвращают их в коробку.  

• Для второй игры вынули два новых мяча.  

• Вероятность того, что в первой игре только один из взятых мячей был новым, обозначается P[B2|A].  

• Пример: вероятность того, что в первой игре только один мяч был новым, равна 2/3.  

• Формулы полной вероятности и Байеса являются следствиями теорем сложения и умножения вероятностей.  

• Формула полной вероятности используется для вычисления вероятности события A при известных вероятностях гипотез.  

• Формула Байеса применяется для вычисления вероятности гипотезы B при условии, что событие A произошло.  

• Полезно записывать данные в виде схемы для лучшего понимания задачи.  

• Каждая тема в теории вероятности базируется на предыдущих, поэтому важно повторять пройденный материал.