Лекция: "М-ды вычисления интеграла Мора" (часть 1): правило Верещагина (с выводом), правило трапеции

• Определение перемещений в балке при изгибе методом Мора.  

• Интеграл Мора как произведение функций момента от заданных нагрузок и силы.  

• Жесткость при изгибе и суммирование по всей длине балки.  

• Перемножение эпюр моментов от заданной и единичной нагрузок.  

• Аналитическое вычисление интеграла не требуется.  

• Различные способы вычисления в зависимости от формы эпюр.  

• Применение правил Верещагина для различных форм эпюр.  

• Перемножение треугольников, прямоугольников и парабол.  

• Правила Верещагина для вычисления интеграла произведения двух функций.  

• Интеграл произведения двух функций на интервале, где они обе непрерывны.  

• Площадь криволинейной эпюры и ордината прямолинейной эпюры под центром тяжести криволинейной эпюры.  

• Практическое применение правил для вычисления интеграла.  

• Обозначение функций и эпюр.  

• Криволинейная эпюра грузового момента и прямолинейная эпюра единичного момента.  

• Площадь криволинейной эпюры и центр тяжести.  

• Интеграл равен произведению площади криволинейной эпюры на ординату прямолинейной эпюры под центром тяжести.  

• Вывод формулы для лучшего понимания.  

• Рассматривается криволинейная функция и прямая на одном участке.  

• Прямая продлевается до начала координат.  

• Интеграл от произведения функций f от x и g от x.  

• Интеграл можно записать от x1 до x2.  

• Рассматривается маленький элемент длины dx.  

• Изменение функции f от x на этом участке можно пренебречь.  

• Площадь под кривой f от x равна dOmega.  

• Интеграл можно заменить на dOmega.  

• Рассматривается значение функции g от x.  

• Значение g от x можно получить через прямоугольный треугольник.  

• Тангенс угла не меняется при изменении координаты.  

• Тангенс угла можно вынести за знак интеграла.  

• Интеграл можно заменить на статический момент.  

• Статический момент определяется как площадь, умноженная на расстояние до оси.  

• Расстояние до оси можно заменить на расстояние от центра тяжести до оси.  

• Рассматривается треугольничек с катетами x и y.  

• Тангенс угла заменяется на отношение противолежащего катета к прилежащему.  

• Интеграл преобразуется в произведение площади криволинейной кривой и ординаты прямолинейной кривой.  

• Записали исходный интеграл и использовали эпюры для упрощения вычислений.  

• Пренебрегли изменением функции на маленьком участке и заменили его ординату на эф от икс.  

• Получили прямоугольный треугольник с катетом эф от икс и гипотенузой икс.  

• Заменили эф от икс на д омега и получили интеграл.  

• Представили катет эф от икс как произведение икс на тангенс угла альфа.  

• Вынесли тангенс альфа за знак интеграла и получили статический момент относительно оси игрек.  

• Статический момент заменили на произведение площади эпюры на расстояние от центра тяжести до оси игрек.  

• Тангенс угла альфа представили как отношение противолежащего катета к прилежащему.  

• Правило Верещагина позволяет перемножать криволинейные и прямолинейные эпюры.  

• Для использования правила нужно знать площадь и положение центра тяжести.  

• Существуют другие способы перемножения эпюр, если эти данные неизвестны.  

• Рассмотрим примеры для различных фигур.  

• Треугольник: площадь равна половине произведения длины на значение момента, центр тяжести находится на высоте.  

• Консоль с равномерно распределенной нагрузкой: площадь равна куэ в кубе на шесть, центр тяжести на одной четвертой и трех четвертых длины консоли.  

• Балочка на двух опорах: площадь куэ в кубе на двенадцать, центр тяжести посередине.  

• В случае с криволинейными эпюрами правило Верещагина имеет ограниченное применение.  

• В некоторых ситуациях площадь и положение центра тяжести могут отличаться от справочных значений.  

• В таких случаях правило Верещагина применять нельзя.  

• Рассматривается расчетная схема шарнирно опертой балки на двух опорах.  

• Балка загружена равномерно по всей длине пролета.  

• Задача: определить угол поворота на правой опоре.  

• Интеграл Мора представляет собой произведение грузовой функции момента и единичной функции момента.  

• Построение двух эпюр: грузовой и единичной.  

• Грузовая эпюра моментов представляет собой параболу с наибольшим значением в центре пролета.  

• Единичная эпюра строится для определения перемещения в сечении Б.  

• Прикладывается единичный момент в любую сторону.  

• Единичная эпюра моментов строится с учетом влияния сосредоточенного момента.  

• Перемножение эпюр выполняется по правилу Верещагина.  

• Площадь криволинейной эпюры умножается на ординату прямолинейной эпюры под центром тяжести криволинейной эпюры.  

• Направление перемещения совпадает с направлением единичной нагрузки.  

• Правило Верещагина применимо и для прямолинейных эпюр.  

• Пример с балкой, загруженной сосредоточенной нагрузкой, дающей прямолинейную эпюру.  

• Пример задачи с балкой и консолью.  

• Определение угла поворота в точке C.  

• Построение эпюр моментов.  

• Построение грузовой эпюры без предварительного определения опорных реакций.  

• Определение момента на свободном конце балки.  

• Построение эпюры с учетом растяжения верхних волокон.  

• Определение угла поворота и прикладываем момент в точке C.  

• Построение эпюры без предварительного определения опорных реакций.  

• Обоснование изменения момента на участке CB.  

• Влияние опорных реакций на изменение момента.  

• Объяснение растяжения верхних и нижних волокон.  

• Сложение моментов для получения нулевого значения.  

• Перемножение эпюр на участках AB и BC.  

• Определение площади треугольника для грузовой эпюры.  

• Нахождение центра тяжести и вычисление ординаты.  

• Пример расчета площади треугольника.  

• Определение знака перемещения.  

• Переход к следующему способу определения перемещения.  

• Важность метода Мора в строительной механике.  

• Применение метода Мора для тестирования сложных конструкций.  

• Подготовка к решению задач методом Мора.  

• Правила трапеции удобны для перемножения трапеций.  

• Значения на краях трапеции берутся со знаком минус, если они сверху от оси.  

• Перемножение треугольника на треугольник лучше выполнять по правилу Верещагина.  

• Формула для вычисления интеграла произведения функции.  

• Значения моментов на концах участка перемножаются с коэффициентом 2.  

• Перемножение крест-накрест значений не требует коэффициента 2.  

• Пример расчета прогиба балки на двух опорах.  

• Построение эпюр моментов и единичной нагрузки.  

• Перемножение значений по правилу трапеции и Верещагина.  

• Направление прогиба совпадает с направлением единичной силы.  

• Измерение прогиба в кНм/м³.  

• Лекция завершена, несмотря на большой объем материала, алгоритмы просты и понятны.