Анализ на многообразиях. Лекция 10. А.В. Пенской.

• Обсуждение интегрирования дифференциальных форм и их связи с анализом.  

• Введение понятия римановой метрики и ее свойств (симметричность и положительная определенность).  

• Разложение римановой метрики в базисе и использование симметрического тензора для вычисления значений.  

• Обсуждение связи между римановой метрикой и геометрией.  

• Обсуждение обратного образа для тензоров типа ноль к и его связи с отображением.  

• Объяснение, что у тензоров типа ноль к есть обратный образ при отображении.  

• В видео обсуждается индуцированная метрика на погружении римановых многообразий.  

• Изометрия - это отображение, которое сохраняет длинные углы и является дифеоморфизмом.  

• Форма объема определяется как определитель матрицы, полученной из преобразования координат.  

• Если якобиан замены координат больше нуля, то форма объема корректно определена и положительно определена.  

• Объяснение, что интеграл первого рода - это форма объема, умноженная на функцию.  

• Пример: интеграл по кривой, где функция - это кривольнейный интеграл из анализа.  

• Объяснение поверхностного интеграла, где поверхность отображается в пространстве.  

• Пример: поверхностный интеграл от функции, где метрика - это скалярное произведение.  

• Объяснение форм объема и их связи с ориентированными многообразиями.  

• Пример: форма объема на не ориентированном многообразии, где она может быть преобразована при замене координат.  

• В видео обсуждается понятие плотности объема и ее преобразование.  

• Плотность объема может быть интегрирована, даже если у вас нет ориентации, так как она преобразуется так же, как и выражение под интегралом.  

• Двулисное накрытие - это отображение, при котором каждая точка многообразия имеет два прообраза.  

• Двулисные накрытия могут быть как тривиальными, так и нетривиальными.  

• Если двулисное накрытие ориентировано, то оно может быть использовано для определения плотности объема.  

• Если двулисное накрытие не ориентировано, то его можно сделать ориентированным, склеивая две копии многообразия в определенных местах.  

• Это утверждение верно для каждого не ориентируемого многообразия.  

• Обсуждение интегрирования форм на ориентированном многообразии, где формы и плотности преобразуются одинаково.  

• Переход от интегрирования плотности к интегрированию формы на двулистном накрытии.  

• Определение интегрирования формы подходящей степени по подмногообразию.  

• Обсуждение интегрирования по цепям и формулы стокса для интегрирования по цепям.  

• Определение кагомологий как фактор-пространства по подпространству.  

• Обсуждение кагомологий с коэффициентами в вещественных числах и их размерности.  

• В видео обсуждается определение кармологии, которое связано с топологической информацией.  

• Кармологии определяются как классы эквивалентности форм, которые удовлетворяют определенным условиям.  

• В качестве примеров рассматриваются окружность и сфера.  

• На окружности, например, одна форма является точной, если интеграл по окружности равен нулю.  

• На сфере, любая форма является точной, так как она может быть представлена как константа плюс дифференциал от функции.  

• В итоге, первые кагомологии сферы и окружности оказываются разными.  

• В видео обсуждается отображение обратного образа и его связь с кагомологией.  

• Обратный образ класса кагомологии определяется как кагомологический класс обратного образа.  

• Если два отображения диффеоморфны, то их группы гомологии и кагологии также диффеоморфны.  

• Если два отображения гомоопически эквивалентны, то их группы гомологии и кагологии изоморфны.  

• Если два отображения не диффеоморфны, то это может быть связано с препятствиями к диффеоморфности, такими как неизоморфность групп гомологии или кагологии.  

• В видео обсуждаются методы вычисления групп гомологии и кагологии, но автор признает, что это может быть сложным для двумерной сферы.  

• В заключение, автор объявляет о наличии живого принимающего и благодарит зрителей за внимание.