Логарифмические уравнения с разными основаниями

• Павел Бердов, репетитор по математике, продолжает изучать логарифмические уравнения.  

• Рассматриваются уравнения с дробями и логарифмами с разными основаниями.  

• Уравнения решаются аналогично простейшим логарифмическим уравнениям.  

• Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид: логарифм по основанию а от функции ф от икс равен числу б.  

• Число б нужно представить в виде логарифма по основанию а от а в степени б.  

• Это позволяет переписать уравнение в канонической форме, где логарифмы можно приравнять.  

• Пример уравнения: логарифм по основанию 2 от икс-квадрат плюс 4 икс плюс 11 равен логарифму по основанию 0,5 от 0,0125.  

• Приводим десятичные дроби к обычной записи для упрощения.  

• Переписываем логарифм по основанию 0,5 как логарифм по основанию 1/2 от 1/8.  

• Логарифм по основанию 1/2 от 1/8 можно представить как логарифм по основанию 2^-1 от 8^-1.  

• Выносим минус единицу из аргумента и основания логарифма.  

• Получаем каноническую форму уравнения: логарифм по основанию 2 от икс-квадрат плюс 4 икс плюс 11 равен логарифм по основанию 2 от 8.  

• Приравниваем аргументы логарифмов и получаем квадратное уравнение.  

• Решаем квадратное уравнение с помощью формулы Виета.  

• Получаем два корня: икс равен -3 и икс равен -1.  

• Пример уравнения: логарифм по основанию 0,5 от квадратичной функции равен логарифму по основанию 3 от 0,19.  

• Приводим десятичные дроби к обычной записи.  

• Переписываем уравнение, учитывая, что 0,5 = 2^-1.  

• Выносим степени из аргументов и оснований логарифмов.  

• Получаем уравнение: логарифм по основанию  

• Представим двойку справа как логарифм по основанию два от двух в квадрате.  

• Переписываем уравнение: логарифм по основанию два от 5x^2 + 9x + 2 равен логарифму по основанию два от 4.  

• Упрощаем уравнение: 5x^2 + 9x - 2 = 0.  

• Считаем дискриминант: D = 81 - 4 * 5 * (-2) = 121.  

• Находим корни: x1 = -9 + 11 / 10 = 2/5, x2 = -9 - 11 / 10 = -2.  

• Оба корня удовлетворяют области определения исходного логарифмического уравнения.  

• Переводите десятичные дроби в обычные при решении логарифмических уравнений.  

• Это упрощает решение и выкладки.  

• На сайте автора есть два варианта самостоятельных работ для практики.  

• До новых встреч!