§2,3,4 Базисы. Деление отрезка.

• В лекции вводится понятие базиса - упорядоченной пары или тройки некомпланарных векторов, которые используются для разложения векторов на плоскости, в пространстве и на прямой.  

• Для каждого вектора в базисе определяются его координаты - числа, которые получаются при разложении вектора по базису.  

• Доказывается свойство линейности координат: при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.  

• Также доказывается следствие: векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.  

• Векторы а и б коллинеарны, если их координаты пропорциональны.  

• Вектор б получается из вектора а умножением на число лямда.  

• Ортонормированный базис - базис, в котором векторы равны единице и взаимно перпендикулярны.  

• В ортонормированном базисе легко считать длину вектора по его координатам.  

• Афинные системы координат - системы координат, в которых координаты векторов и точек связаны между собой.  

• В афинных системах координат точка о называется началом координат, а векторы е1, е2, е3 - базисом.  

• Радиус-вектор точки м в афинных системах координат равен сумме векторов о-м и разложении вектора о-м по базису.  

• В видео обсуждаются прямоугольные системы координат пространства и их применение для нахождения координат вектора и точки.  

• Вводится обозначение координат вектора и точки, а также обозначение координат точки в прямоугольной системе координат.  

• Обсуждается формула для нахождения длины вектора и расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат.  

• Упоминается, что для вычисления длины вектора и расстояния между точками можно использовать только прямоугольную систему координат.  

• Вводится понятие деления отрезка в данном отношении и определение деления отрезка в данном отношении.  

• Обсуждаются значения числа лямда, которое задается изначально и определяет отношение деления отрезка.  

• Рассматриваются случаи, когда точка м совпадает с точкой м два и когда точка м приближается к точке м два.  

• В пределе, если точка м совпала с точкой м два, число лямда будет равно бесконечности.  

• Если точка М лежит вне отрезка, то она делит его внешним образом, и значения будут отрицательными.  

• На бесконечности ставим минус единицу и минус единицу с другой стороны.  

• Формула: p = p1 + p2 / 2.  

• Для координат: x = (x1 + x2) / 2, y = (y1 + y2) / 2, z = (z1 + z2) / 2.  

• Если точка - центр тяжести, то массы m1 и m2 обратно пропорциональны.  

• Формула: p = m1p1 + m2p2 / m1 + m2.  

• Если имеется больше точек, то формула аналогична, но с использованием суммы масс.