Логарифмы с Нуля, Что Такое Логарифм? + ДЗ (ЕГЭ 2024 Математика Профиль и База, 10 и 11 класс)

• Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.  

• Логарифмы могут встречаться в семи из 19 задач ЕГЭ профильного уровня по математике.  

• Примеры задач: логарифмическое уравнение в пятом задании, логарифмическое выражение в девятом, формула с логарифмом в десятом, нахождение точки минимума или максимума логарифмической функции в двенадцатом, логарифмическое уравнение в тринадцатом, смешанные задачи с тригонометрией и логарифмами в пятнадцатом и восемнадцатом заданиях.  

• Пример задачи: уравнение 2^x = 8.  

• Решение: 2^x = 2^3, x = 3.  

• Если нужно решить уравнение 2^x = 7, то x — это логарифм 7 по основанию 2.  

• Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.  

• Пример: 3^x = 7, x — это логарифм 7 по основанию 3.  

• Логарифм обозначается как loga b.  

• Пример: уравнение 3^x = 7.  

• Решение: x — это логарифм 7 по основанию 3, x ≈ 2.8.  

• Оценка значения логарифма с помощью алгебры и графика.  

• Пример: 2^x = 7.  

• Оценка с помощью калькулятора: 2^2.8 ≈ 7.  

• Пример: построение графика функции 2^x = 7.  

• Оценка: пересечение графика с осью y происходит между 2 и 3, точнее 2.807.  

• Логарифм a^x определен только при положительных a.  

• Пример: a^x = 1/3, a^x = 1/26.  

• Основание логарифма должно быть больше нуля.  

• Нельзя возводить отрицательные числа в не целую степень, так как это может привести к неопределенности.  

• Пример: логарифм по основанию два минус четырех по основанию два.  

• Если основание логарифма больше нуля, то результат всегда будет положительным числом.  

• Если основание логарифма равно единице, то результат всегда будет равен любому числу.  

• Пример: логарифм единицы по основанию один равен любому числу.  

• Это объясняет, почему основание логарифма не может быть единицей.  

• Если в основании логарифма поставить единичку, то результат будет равен любому числу.  

• Основное логарифмическое тождество: a^log_b^a = b.  

• Это тождество объясняется через определение логарифма.  

• Первое свойство: a^log_b^a * a^log_c^a = b * c.  

• Второе свойство: a^log_b^a / a^log_c^a = b / c.  

• Третье свойство: log_b^a^m = m * log_a^b.  

• Четвертое свойство: log_b^a^n / n = log_a^b.  

• Шестое свойство: log_b^a = log_b^c / log_c^a.  

• Пятое свойство: log_b^a = 1 / log_a^b.  

• Эти свойства используются для решения задач ЕГЭ.  

• Пример задачи: уравнение с логарифмами.  

• Решение: a^log_b^a = b.  

• Пример задачи для домашней работы: семь задач, все будут разобраны.  

• Логарифмы могут встречаться в девятой задаче, где их можно решать по определению или свойствам.  

• В десятой задаче логарифмы используются для подстановки в формулы и уравнения.  

• Пример задачи: подстановка значений в формулу и нахождение неизвестного.  

• В двенадцатой позиции может встретиться задача про производную и нахождение точки минимума или максимума.  

• Логарифм с основанием 10 называется десятичным логарифмом, а с основанием e — натуральным логарифмом.  

• Для нахождения точки минимума используется формула производной логарифма и производная сложной функции.  

• В тринадцатой задаче могут быть уравнения смешанного типа с логарифмами.  

• Сначала нужно определить ОДЗ для логарифмов, чтобы избежать ошибок.  

• Решение уравнения включает использование свойств логарифмов и замену переменных.  

• В пятнадцатой задаче могут встречаться неравенства с логарифмами.  

• Решение начинается с определения ОДЗ и метода интервалов.  

• Важно правильно определить интервалы и не допускать ошибок в записи.  

• Проверка логарифмов после замены.  

• Логарифм 25 минус x^2 по основанию 5 меньше или равен 1, больше или равен 2.  

• Преобразование логарифмов в основания 5.  

• Логарифмы по основанию 5 убираются.  

• Нанесение x на числовую прямую.  

• Объяснение знаков и интервалов.  

• Объяснение, почему x^2 меньше или равен 0.  

• Объяснение, что x равен 0.  

• Нанесение x на числовую прямую.  

• Нанесение x на числовую прямую.  

• Объяснение ответа: от -5 до -2 корня из 5, включая 0, и от 2 корня из 5 до 5.  

• Объяснение, как не потерять x=0.  

• Объяснение задачи из банка ФИПИ.  

• Преобразование уравнения с логарифмом.  

• Графическое решение системы уравнений.  

• Построение параболы.  

• Определение точек на параболе.  

• Графическое решение уравнения.  

• Построение горизонтальной прямой.  

• Определение решений для a.  

• Объяснение решений для a.  

• Решение задачи номер 7.  

• Призыв к решению задач самостоятельно.  

• Благодарность за просмотр и надежда на понимание.