Гармонические колебания Маятники Свободные и вынужденные колебания Резонанс

• Рассматриваются гармонические колебания и нормальные моды.  

• Обсуждаются дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решения.  

• Примеры гармонических осцилляторов: физический, математический и пружинный маятники.  

• Рассматриваются вынужденные колебания под действием синусоидальной силы.  

• Записывается дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решения.  

• Обсуждаются амплитуда и фаза вынужденных колебаний, а также резонанс.  

• Уравнение движения материальной точки при гармоническом колебании.  

• Возвращающая сила пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону.  

• Возвращающие силы могут быть упругими или квази-упругими.  

• Гармонический осциллятор описывается уравнением вида м д два икс по дт дважды плюс к икс равно нулю.  

• Гармонические колебания служат моделью в классической и квантовой физике.  

• Рассматриваются пружинный, физический и математический маятники.  

• Пружинный маятник: тело на пружине, совершающее гармонические колебания.  

• Физический маятник: тело, совершающее колебания под действием силы тяжести.  

• Уравнение движения пружинного маятника: м д два икс по дт дважды плюс омега-нулевое в квадрате икс равно нулю.  

• Решение уравнения: икс равно икс-нулевое умножить на косинус омега-нулевое т плюс фи-нулевое.  

• Определение собственной частоты и периода колебаний пружинного маятника.  

• Физический маятник: твердое тело, совершающее гармонические колебания под действием силы тяжести.  

• Уравнение движения физического маятника: и умноженное на д два фи по дт дважды плюс мж, а фи равно нулю.  

• Определение круговой частоты и периода колебаний физического маятника.  

• Математический маятник: тело на невесомой нити, совершающее гармонические колебания.  

• Уравнение движения математического маятника: омега-нулевое в квадрате равно же разделить на эль.  

• Определение циклической частоты и периода колебаний математического маятника.  

• Приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника с тем же периодом колебаний.  

• Это справедливо для малых углов отклонения системы от положения равновесия.  

• При больших углах определение циклических частот и периодов становится сложной задачей.  

• Колебания системы называются затухающими, если энергия не восполняется внешними силами.  

• В линейных системах свободные колебания представляют собой суперпозицию нормальных мод.  

• Уравнение затухающих колебаний учитывает силу трения и диссипацию энергии.  

• Уравнение затухающих колебаний включает возвращающую силу и силу сопротивления.  

• Решение уравнения показывает, что амплитуда колебаний убывает по экспоненте.  

• Коэффициент затухания бета характеризует быстроту убывания амплитуды.  

• Частота затухающих колебаний равна омега-нулевое в квадрате минус бета в квадрате.  

• Период затухающих колебаний равен два пи разделить на корень квадратный из омега-нулевое в квадрате минус бета в квадрате.  

• На практике бета много меньше омега-нулевое, поэтому частота и период близки к омега-нулевое.  

• Декремент затухания характеризует быстроту затухания в зависимости от числа колебаний.  

• Логарифмический декремент затухания лямбда равен натуральному логарифму декремента.  

• Логарифмический декремент затухания позволяет записать закон убывания амплитуды.  

• При большом трении колебания могут прекратиться.  

• При бета стремящемся к омега-нулевое частота колебаний стремится к нулю, а период к бесконечности.  

• При бета больше омега-нулевое характер процесса зависит от начальных условий.  

• Добротность системы пропорциональна числу колебаний за время релаксации.  

• Для механической системы добротность определяется соотношением к разделить на омега р.  

• Вынужденные колебания совершаются под действием внешней гармонической силы.  

• Уравнение вынужденных колебаний включает вынуждающую силу и учитывает затухание.  

• Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты изменения вынуждающей силы.  

• При малом затухании амплитуда при резонансе равна x0 = f0 / mβω0.  

• Добротность показывает, во сколько раз амплитуда при резонансе превышает смещение системы под действием постоянной силы.  

• Это справедливо только при небольшом затухании.  

• При конструировании машин и сооружений важно учитывать собственную частоту колебаний.  

• Собственная частота не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий.  

• Резонанс может вызвать вибрации, опасные для конструкций.  

• В некоторых случаях резонанс полезен, особенно в акустике и радиотехнике.  

• Вынужденные колебания могут быть вызваны непосредственным воздействием на систему.  

• Параметрическое возбуждение колебаний происходит при изменении параметров системы.  

• Автоколебания возникают благодаря развитию неустойчивости внутри системы.  

• Резонанс заключается в резком увеличении амплитуды при приближении частоты внешнего воздействия к резонансной частоте системы.  

• Резонансные частоты совпадают с частотами собственных колебаний линейной системы.  

• Раскачка происходит до тех пор, пока энергия, вносимая извне, превышает потери за период колебаний.  

• Для линейных колебаний энергия, получаемая от источника, пропорциональна первой степени амплитуды.  

• Потери растут пропорционально квадрату амплитуды, поэтому баланс энергии всегда достижим.