Свойства преобразования Фурье. Дельта-функция

• Линейность означает, что выполняется принцип суперпозиции.  

• Преобразование суммы функций равно сумме преобразований этих функций.  

• Интегрирование и дифференцирование также являются линейными операциями.  

• При временном сдвиге сигнала его спектральная плотность умножается на фазовый множитель.  

• Модуль спектральной плотности не меняется, изменяется только фаза.  

• Это свойство позволяет использовать уже известные спектры для сдвинутых сигналов.  

• Сигнал может быть сжат или растянут вдоль оси времени.  

• Спектральная плотность сжатого или растянутого сигнала получается из спектральной плотности исходного сигнала.  

• Это позволяет использовать уже известные спектры для сигналов разной длительности.  

• Оригинал - это исходная функция, а спектр - это образ.  

• Преобразование Фурье отображает множество исходных функций на множество конечных функций.  

• Элементы исходного множества называются оригиналами, а результат преобразования - образами.  

• Спектральная плотность производной сигнала равна произведению исходной спектральной плотности на множитель jw.  

• Это справедливо для всех сигналов, кроме постоянной составляющей.  

• Свойство помогает решать задачи, умножая на множитель jw без необходимости пересчета преобразования Фурье.  

• Производная прямоугольного импульса равна нулю, кроме двух точек, где она равна дельта-функции.  

• Спектр дельта-функции равен комплексной экспоненте.  

• Спектр производной прямоугольного импульса можно найти, зная спектр дельта-функции, и разделить на jw.  

• Свойство производной можно применять многократно, увеличивая множитель при спектре в соответствующую степень.  

• Если в сигнале есть постоянная составляющая, она пропадает при взятии производной.  

• Спектр постоянной составляющей нужно находить отдельно.  

• Если сигнал с два является интегралом от сигнала с- один, спектр второго сигнала равен спектру первого, поделенному на jw.  

• Это свойство также может быть применено многократно, увеличивая множитель в знаменателе в соответствующую степень.  

• Свертка - это интеграл произведения двух функций, сдвинутых по времени.  

• Свертка часто встречается в технике и науке, особенно в спектральном анализе.  

• Если сигнал является сверткой, его спектральная плотность равна произведению спектральных плотностей исходных сигналов.  

• Треугольный видео импульс можно представить как свертку двух прямоугольных импульсов.  

• Интеграл свертки равен нулю до момента пересечения импульсов, затем линейно нарастает до максимального значения при нулевом сдвиге.  

• Спектр треугольного импульса равен произведению спектров прямоугольных импульсов, что приводит к спектральной плотности вида синус в квадрате.  

• Если сигнал является произведением двух других сигналов, его спектральная плотность может быть получена как свертка спектральных плотностей этих сигналов.  

• Это свойство используется часто и будет важно в следующей теме, связанной с модуляцией сигналов.  

• Порядок произведения сигналов не имеет значения, результат должен быть одинаковым.  

• Если сигнал соответствует спектру, то его спектр, соответствующий времени, будет иметь форму, аналогичную исходной спектральной плотности, но с множителем 2π и развернутую в обратную сторону по частоте.  

• Примеры: прямоугольный импульс во времени соответствует прямоугольнику в частотной области, дельта-функция во временной области соответствует дельта-функции в частотной области.  

• Эти свойства важны для теории обработки сигналов и часто используются на практике.  

• Энергия сигнала может быть получена интегрированием квадрата сигнала или спектральной плотности квадрата модуля спектральной плотности.  

• Это утверждение аналогично утверждению о мощности в рядах Фурье.  

• Энергия сигнала может быть рассмотрена как распределение во времени или по частоте.  

• Интегрирование спектральной плотности по полубесконечному интервалу дает энергию сигнала.  

• Для действительного сигнала спектральная плотность четна, что позволяет интегрировать только половину интервала.  

• Преобразование Фурье является взаимно однозначным: одному сигналу соответствует один спектр, и наоборот.  

• Спектральная плотность содержит столько же информации, сколько и исходный сигнал.  

• Спектр является альтернативным способом представления сигнала и может быть восстановлен через обратное преобразование Фурье.  

• Временной и частотный языки эквивалентны по своей содержательности и возможностям.  

• Некоторые задачи удобнее решать во временной области, другие — в частотной.  

• Важно уметь переводить сигналы в частотную область и понимать, что спектр — это сам сигнал на другом языке.  

• Результат преобразования Фурье называется спектральной плотностью, а не просто спектром.  

• Спектральная плотность имеет размерность вольт на герц или амплитуда на герц.  

• Важно различать спектр, полученный разложением в ряд Фурье, и спектральную плотность, полученную преобразованием Фурье.  

• Абсолютно интегрируемые сигналы имеют сходящийся интеграл от модуля.  

• Если сигнал не является абсолютно интегрируемым, интеграл от его модуля расходится.  

• Это создает сложности при вычислении спектра сигнала через преобразование Фурье.  

• Пример с косинусом частоты омега-ноль.  

• Попытка найти спектральную плотность через преобразование Фурье.  

• Косинус можно представить как сумму двух комплексных экспонент.  

• Интегралы от комплексных экспонент могут привести к бесконечным значениям.  

• Это вызывает неопределенность в вычислении спектра.  

• Проблема возникает при омега равном омега-ноль.  

• Комплексные экспоненты всегда лежат на единичной окружности в комплексной плоскости.  

• При стремлении аргумента к бесконечности, мнимая единица остается неизменной.  

• Пределы не существуют, что делает взятие первообразной некорректным.  

• Для нахождения интегралов абсолютно неинтегрируемых функций используются обобщенные функции.  

• Обобщенные функции являются пределами последовательностей обычных функций.  

• В данном случае используется дельта-функция Дирака.  

• Дельта-функция равна бесконечности при икс равном нулю и нулю при икс не равном нулю.  

• Интеграл от дельта-функции равен единице.  

• Дельта-функцию можно получить как предельный переход прямоугольных импульсов.  

• Дельта-функция имеет свойство, которое позволяет интегрировать любую функцию с ней.  

• Интеграл от функции и дельта-функции дает значение функции в точке, где дельта-функция отлична от нуля.  

• Это свойство позволяет легко интегрировать интегралы с дельта-функцией, вынося подынтегральное выражение в точку, где дельта-функция равна бесконечности.  

• Дельта-функция может иметь амплитуду и может быть умножена на число.  

• Рассмотрим дельта-функцию в частотной области на частоте омега-ноль.  

• Обратное преобразование Фурье дельта-функции в частотной области дает комплексный экспонент во временной области.  

• Комплексный экспонент является базисной функцией для преобразования Фурье.  

• Спектральная плотность комплексного экспонента равна дельта-функции.  

• Прямое преобразование Фурье от комплексной экспоненты дает дельта-функцию в частотной области.  

• Дельта-функция является четной функцией, что позволяет менять знаки в показателях экспонента.  

• Интегральное определение дельта-функции справедливо для всех возможных знаков в показателях экспонента и частоте омега-ноль.  

• Интегральное определение дельта-функции позволяет использовать его в различных интегралах.  

• На этом видео завершается, и до следующей встречи.