Точки разрыва. Исследование непрерывности функции

• Исследование точек разрыва функций.  

• Определение точек разрыва и их характера.  

• Примеры вертикальных асимптот и разрывов.  

• Бесконечный разрыв: функция улетает на бесконечность с обеих сторон.  

• Скачок: функция меняет значение скачком.  

• Устранимый разрыв: функция имеет дырку в точке, но пределы справа и слева конечны.  

• Пределы справа и слева в точке устранимого разрыва могут быть одинаковыми.  

• Пределы могут не существовать, что приводит к неописуемым разрывам.  

• Классификация разрывов.  

• Выявление точек, подозрительных на разрыв.  

• Проверка точек в знаменателе и основании логарифма.  

• Проверка точек стыка функций.  

• Расчет пределов функции в точке справа и слева.  

• Сравнение пределов и проверка значения функции в точке.  

• Диагноз: точка разрыва второго рода или скачок.  

• Пример функции с точкой устранимого разрыва.  

• Расчет пределов и проверка значения функции в точке.  

• Диагноз: точка устранимого разрыва.  

• Рассматривается функция, которая меняется в зависимости от значения аргумента.  

• Пример: сначала функция равна x, затем 1/x, затем sin x.  

• Важно учитывать точки стыка и подозрительные точки.  

• Выписываются точки стыка: -1, 2.  

• Исследуются подозрительные точки в компонентах функции.  

• Проверяется непрерывность функции в точке x = 0.  

• Рассчитываются пределы функции при x стремящемся к -1 и 2.  

• Сравниваются пределы и проверяется значение функции в точке -1.  

• Делается вывод о точке устранимого разрыва.  

• Рассчитываются пределы функции при x стремящемся к 2.  

• Сравниваются пределы и делается вывод о точке разрыва первого рода.  

• Проверяется значение функции в точке x = 0.  

• Рассчитывается предел функции при x стремящемся к -0.  

• Делается вывод о точке разрыва второго рода.  

• Подчеркивается важность точек разрыва для исследования функции.