Панин А. А. - Теория функции комплексной переменной - Аналитические функции. Условия Коши-Римана

• Обсуждение условий Кроши Римана, интегральной формулы Каши и аналитических функций.  

• Введение системы обозначений для окрестностей точек и определение предела функции.  

• Определение дифференцируемости функции в точке и аналитичности в области.  

• Условие аналитичности функции в точке и области.  

• Теорема о том, что функция аналитична в области, если выполняются два условия: непрерывность частных производных и выполнение соотношения Каширимана.  

• Пример функции, аналитичной в области, и выполнение условий Каширимана.  

• В видео обсуждается соотношение Каширимана для функций, заданных в алгебраической и тригонометрической формах.  

• В случае, когда аргумент и значение функции представлены в алгебраической форме, соотношение Каширимана выполняется.  

• В видео приводятся примеры выполнения соотношения Каширимана для функции логарифма и контрпримеры, показывающие, что не всегда можно быть уверенным в выполнении соотношения Каширимана.  

• В частности, функция, дифференцируемая в одной точке, может не быть аналитической в этой точке.  

• В видео обсуждаются свойства аналитических функций, включая то, что функция аналитическая в одной точке, не обязательно будет аналитической в этой области.  

• Также подчеркивается, что для аналитичности функции необходимо, чтобы ее частные производные были непрерывны и удовлетворяли соотношению Каширимана в рассматриваемой области.  

• Рассматриваются функции на вещественной и мнимой осях, их производные и непрерывность в точке ноль.  

• В точке ноль производные функций равны нулю, что не позволяет им быть аналитическими.  

• Вещественная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа в области, где функция аналитична.  

• Вещественная часть аналитической функции гармонична, а мнимая часть может быть восстановлена с точностью до вещественной константы.  

• Рассматривается пример функции, где мнимая часть известна, и восстанавливается вещественная часть с помощью соотношения Каширимана.  

• В видео обсуждается метод восстановления функции по ее вещественной части.  

• Для этого используется общий метод, который состоит в том, чтобы разделить вещественную часть на две части: монотонную и трансцендентную.  

• Затем каждая часть обрабатывается отдельно, и в итоге получается искомая аналитическая функция.  

• В следующем сюжете обсуждается определение интеграла по кривой на комплексной плоскости.  

• Кривая должна быть кусочно-гладкой и конечной длины, а функция, которую нужно проинтегрировать, должна быть непрерывной.  

• Определение интеграла по кривой дается через интегралы второго рода от функции вещественной переменной.  

• В видео обсуждается интеграл по комплексной плоскости, который наследует свойства кривления материала второго рода.  

• Для вычисления интеграла используется параметризация кривой и оценка модуля интеграла.  

• Приводятся примеры вычисления интегралов от функций по кривым, соединяющим точки ноль и единица плюс и.  

• В первом случае интеграл зависит только от начальной и конечной точек, во втором случае - от конкретной кривой.  

• Теорема Каши утверждает, что интеграл по любому контуру, охватывающему область аналитичности функции, равен нулю.  

• Для аналитической функции можно ввести понятие интеграла с переменным верхним пределом и доказать аналог формулы Ньютона-Лейбница.  

• Теорема Каши утверждает, что если функция аналитична в области с дырками, то интеграл по полной границе области равен нулю.  

• Это позволяет получить интересный результат: если у нас есть область с дырками и точка внутри этой области, то значение функции в этой точке можно выразить через значение функции на границе области.  

• Интегральная форма Лукаши - это формула, которая позволяет выразить значение функции в точке через значение функции на границе области.  

• Это показывает, что условия аналитичности накладывают жесткие ограничения на функцию.  

• Если мы возьмем окружность в качестве контура, то значение функции в точке можно выразить как среднее арифметическое значений функции на окружности.