Формула Эйлера: объяснение | Самая красивая формула математики – Алексей Савватеев | Лекции

• Формула Эйлера связывает пять величайших констант: 0, 1, π, e и i.  

• e в степени x равно 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...  

• Эта формула верна для любого x, включая комплексные числа.  

• Теорема утверждает, что для любого комплексного числа x, e в степени x можно представить как предел ряда.  

• Доказательство теоремы требует разложения в ряд и анализа сходимости.  

• Комплексный экспонент корректно определен на всей комплексной плоскости.  

• Формула верна для всех комплексных чисел, включая вещественные.  

• При подстановке вещественного числа x, предел стремится к единице.  

• Для иллюстрации используется тригонометрическая окружность.  

• Предел при стремлении к бесконечности равен единице.  

• Доказательство включает оценку и раскрытие скобок.  

• Предел всегда равен единице, так как e в степени x всегда равен единице.  

• Комплексный анализ важен для вывода основных формул.  

• Предел при стремлении к бесконечности можно рассматривать как алгебраическое выражение.  

• Пример: предел выражения с добавкой Z/N и W/N^2 равен тому же выражению без добавки.  

• Предел выражения с добавкой Z/N и W/N^2 не меняется при ограничении последовательности.  

• Доказательство проводится через умножение на известный предел.  

• Предел выражения с добавкой равен единице, что доказывает существование исходного предела.  

• Доказательство экспоненты от суммы аналогично доказательству для экспоненты.  

• Предел выражения с добавкой Z и T/N^2 равен произведению пределов.  

• Это упражнение полезно для студентов и помогает понять комплексный анализ.  

• Предел выражения с добавкой iφ/N равен косинусу φ и синусу φ.  

• Доказательство использует правила перемножения комплексных чисел и предел постоянной последовательности.  

• Подстановка φ = π приводит к основной формуле Эйлера: e^iπ = cos π + i sin π.