Лекция 11. Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения. Матричный метод

• Рассматриваются системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенные относительно производных.  

• Система уравнений - это набор уравнений, решаемых совместно.  

• Решение системы - это набор функций, удовлетворяющих всем уравнениям системы.  

• Теорема Пикара: через каждую точку проходит одна и только одна интегральная кривая.  

• Метод исключения: выражение одной из функций через другие и подстановка в остальные уравнения.  

• Матричный метод: решение линейных однородных систем уравнений с постоянными коэффициентами.  

• Фундаментальный набор решений: система частных решений, линейно независимых на интервале.  

• Утверждение о том, что решение уравнения не зависит от икс, если определитель системы равен нулю.  

• Теорема о общем решении матричного дифференциального уравнения.  

• Решение системы уравнений с использованием собственных векторов и собственных значений матрицы.  

• Составление характеристического уравнения и поиск собственных чисел и собственных векторов.  

• Решается матричное уравнение для каждого собственного числа, затем сводятся к системе алгебраических уравнений.  

• Собственные векторы найдены для каждого собственного числа.  

• Решается система уравнений с использованием найденных собственных векторов и чисел.  

• Собственные числа: лямда равна нулю и единице.  

• Процедура решения меняется для второго собственного числа, имеющего вторую кратность.  

• В видео решается система уравнений, состоящая из шести уравнений с шестью неизвестными.  

• Приравниваются коэффициенты при линейно независимых функциях e^t и e^t^2.  

• Получаются шесть уравнений, которые решаются для нахождения координат вектора.  

• После нахождения координат вектора, общее решение системы уравнений записывается в виде: .  

• В координатной форме ответ выглядит так: .  

• Если корень лямбда равен лямбда ноль, то ему должны отвечать с линейно независимых решений.  

• В этом случае, решение записывается в виде: .  

• Подставляя эту формулу в исходную систему уравнений, можно найти координаты векторов игрек, игрек два и т.д.