Урок 209. Закон Гука. Модуль Юнга

• Сопромат - сложная наука, теория упругости.  

• Рассмотрим малую упругую деформацию растяжения-сжатия.  

• Тема урока: закон Гука и модуль Юнга.  

• При малых деформациях сила упругости пропорциональна удлинению тела.  

• Сила упругости направлена противоположно направлению смещения частиц тела.  

• Математическое описание: сила упругости пропорциональна удлинению.  

• Жесткость тела - характеристика тела.  

• Единица измерения жесткости: ньютоны на метр.  

• Жесткость зависит от материала и площади поперечного сечения.  

• Жесткость обратно пропорциональна длине стержня.  

• Жесткость прямо пропорциональна площади поперечного сечения.  

• Коэффициент пропорциональности зависит от материала.  

• Модуль Юнга - характеристика материала.  

• Единица измерения модуля Юнга: паскаль.  

• Модуль Юнга определяет механическое напряжение в теле.  

• Модуль Юнга численно равен жесткости куба с ребром 1 метр.  

• Модуль Юнга характеризует вещество, а не конкретное тело.  

• Примеры: сталь 200 ГПа, резина 1 МПа.  

• Сила упругости пропорциональна удлинению тела.  

• Формула: сила упругости = модуль Юнга * площадь поперечного сечения / длина тела * удлинение.  

• Механическое напряжение прямо пропорционально относительному удлинению.  

• Закон Гука описывает явление в материале, а не в теле.  

• Механическое напряжение и относительное удлинение связаны в каждой точке деформированного тела.  

• Пример: расчет удлинения цилиндрического стержня.  

• Для тел с переменным сечением используется метод разбиения на кусочки.  

• Вычисление механического напряжения и относительного удлинения для каждого участка.  

• Суммирование удлинений для получения общего удлинения тела.  

• Задача из задачника Кирика: определить модуль Юнга проволоки.  

• Решение: использование закона Гука в дифференциальной форме.  

• Результат: модуль Юнга проволоки составляет 50 ГПа, что меньше значений для стали и алюминия.  

• Задача на потенциальную энергию стального стержня.  

• Условия задачи: стержень длиной 2 метра и сечением 10 мм² обладает потенциальной энергией 4.4 Дж.  

• Решение: вычисление абсолютного удлинения для определения потенциальной энергии.  

• Рассматривается потенциальная энергия упруго-деформированного тела.  

• Формула для потенциальной энергии: kx^2/2, где x - удлинение.  

• В данном случае удлинение обозначается как дельта.  

• Жесткость тела равна произведению модуля Юнга на площадь поперечного сечения, деленному на длину.  

• Подставляем значения в формулу для потенциальной энергии.  

• Выражаем дельта через известные параметры.  

• Выражаем дельта: корень квадратный из 2 умножить на потенциальную энергию, деленное на модуль Юнга и площадь поперечного сечения.  

• Проводим вычисления, преобразуя единицы измерения.  

• Пример вычисления удлинения: корень квадратный из 2 умножить на 4.4 умножить на 10^-2, деленное на 200 ГПа и 10 мм^2.  

• Преобразуем единицы измерения и сокращаем множители.  

• Получаем результат: 0.3 мм.  

• Завтра будет обсуждаться, выдержит ли стальной стержень растяжение на 0.3 мм.  

• На сегодня все.