7.5. Построение критериев расположения корней

• Таблица необходимых и достаточных условий для семи базовых случаев расположения корней квадратного трехчлена сложна для запоминания.  

• В задачах часто приходится составлять условия самостоятельно.  

• Рассмотрим метод построения условий, который используется в реальных задачах.  

• Рассматриваем условия на коэффициенты квадратного трехчлена для выполнения определенного условия.  

• Квадратный трехчлен имеет вид ax^2 + bx + c, где a не равно нулю.  

• Корни x1 и x2 находятся посередине между x1 и x2.  

• Корни квадратного трехчлена должны быть меньше фиксированного числа.  

• Рассматриваем случаи, когда коэффициент a больше и меньше нуля.  

• В случае a больше нуля, корни должны быть левее фиксированного числа.  

• Значение трехчлена в точке x1 должно быть больше нуля.  

• Дискриминант должен быть больше нуля.  

• Вершина параболы должна быть меньше фиксированного числа.  

• В случае a меньше нуля, корни должны быть правее фиксированного числа.  

• Значение трехчлена в точке x1 должно быть меньше нуля.  

• Вершина параболы должна быть больше фиксированного числа.  

• Условия для a больше и меньше нуля можно объединить в одно условие.  

• Дискриминант должен быть больше нуля, a умножить на f от x1 должно быть больше нуля, и x вершины должно быть меньше фиксированного числа.  

• Метод позволяет конструировать условия на ходу при решении задач.  

• Если корни могут совпадать, нужно изменить условие дискриминанта на "больше либо равен нулю".  

• Рассматриваются случаи, когда корни могут совпадать с точкой эль.  

• Вводятся строгие и нестрогие неравенства для корней.  

• Обсуждаются варианты расположения параболы и корней.  

• Вводятся нестрогие неравенства для случая, когда корни могут совпадать.  

• Рассматриваются варианты, когда корни совпадают с граничными точками.  

• Объясняется, как нестрогие неравенства влияют на критерии.  

• Рассматривается первый случай расположения корней.  

• Строятся критерии для этого случая.  

• Объясняется, как изменить строгие неравенства на нестрогие.  

• Рассматривается второй случай расположения корней.  

• Вводятся условия для параболы и корней.  

• Объясняется, как избавиться от неподходящих случаев.  

• Рассматривается третий случай расположения корней.  

• Вводятся условия для параболы и корней.  

• Объясняется, как определить, удовлетворяет ли парабола условиям.  

• Рассматривается четвертый случай расположения корней.  

• Вводятся условия для параболы и корней.  

• Объясняется, как определить, удовлетворяет ли парабола условиям.  

• В точке эль эф отель больше нуля.  

• В точке р эф от р умноженное на а меньше нуля.  

• Это гарантирует наличие корней, так как парабола пройдет через ось икс.  

• Расположение вершины не играет существенной роли.  

• Вершина может совпадать с эль или р.  

• Это условие достаточно для определения расположения корней.  

• Больший корень лежит в интервале.  

• Парабола должна пересекать ось икс в двух точках.  

• Условия: а на эф отель меньше нуля, а на эф от р больше нуля.  

• Оба корня по разные стороны от интервала.  

• Парабола должна пересекать ось икс в точках эль и р.  

• Условия: а на эф отель меньше нуля, а на эф от р меньше нуля.  

• Оба корня лежат в интервале эль р.  

• Парабола должна иметь два корня между точками эль и р.  

• Условия: а на эф отель больше нуля, а на эф от р больше нуля.  

• Дискриминант важен для исключения неподходящих парабол.  

• Вершина параболы должна быть между корнями.  

• Условия: а на эф отель больше нуля, а на эф от р больше нуля, дискриминант положительный, вершина между эль и р.  

• Дискриминант больше нуля, а на эф отель больше нуля.  

• Вершины лежат между эль и э.  

• Если бы корни совпадали, дискриминант можно было бы допускать равным нулю.  

• Если бы один корень совпадал с р, нужно было бы допускать равенство.  

• Если бы другой корень совпадал с р, нужно было бы допускать равенство.  

• Если везде не строгие неравенства, вершины могут совпадать.  

• Рассмотрены семь случаев, включая совпадение и несовпадение корней.  

• Методика используется для решения реальных задач.  

• Запомнить таблицу сложно, и она содержит только базовые случаи.  

• Важно уметь строить критерии на ходу, анализируя расположение параболы.  

• Дополнительные условия помогают ликвидировать неподходящие случаи.  

• Условия включают значения квадратного трехчлена в граничных точках.  

• Фиксированные числа ограничиваются.  

• Дискриминант и абсцисса вершины.  

• Расположение вершины параболы.  

• Эти условия являются кирпичиками для построения критериев для нужного расположения корней.