Площади | Задачи 44-54 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классы

• Для решения задачи 44 понадобится задача 5 из той же главы.  

• Утверждение: если на сторонах треугольника выбрать точки, делящие их на три части, то площадь одного такого кусочка будет составлять одну девятую от площади всего треугольника.  

• Разбиваем четырехугольник диагональю на два треугольника.  

• Применяем утверждение из задачи 5: площадь одного кусочка равна одной девятой от площади исходного треугольника.  

• Обозначаем площади треугольников как с-1 и с-2.  

• Площадь с-1 плюс с-2 равна двум девятым площади исходного четырехугольника.  

• Аналогично доказываем для других треугольников.  

• Находим площадь закрашенной части: 5/9 от площади всего четырехугольника.  

• Проводим медианы в треугольниках, делящие площади пополам.  

• Площадь синих треугольников равна половине площади исходного четырехугольника.  

• Зеленый четырехугольник занимает половину оставшейся площади.  

• Отрезки являются диагоналями параллелограммов.  

• Площадь параллелограмма равна 13.  

• Площадь четырехугольника равна 7.  

• Разбиваем четырехугольник диагональю на два треугольника.  

• Проводим медианы, делящие площади пополам.  

• Желтые треугольники имеют площади 2x и 2-2x, вместе они дают 2.  

• Проводим медиану и делим треугольник на два равных по площади.  

• Выделяем зеленую часть и вычисляем её площадь.  

• Площадь всего четырехугольника равна пяти.  

• Используем утверждение задачи 42 для вычисления площади.  

• Обозначаем площади частей четырехугольника буквами.  

• Площадь четырехугольника АМЦК равна половине площади исходного четырехугольника.  

• Остатки от вырезания АМЦК дают половину площади.  

• Применяем утверждение задачи 42 к четырехугольнику КБМД.  

• Площадь КБМД равна половине площади всего четырехугольника.  

• Площадь КБМД состоит из треугольника БЛМ, треугольника КРД и четырехугольника ЛМР.  

• Площадь треугольника АБМ состоит из икса и треугольника БЛМ.  

• Площадь треугольника ЦКД состоит из икса и треугольника КРД.  

• Находим одинаковые части и взаимно уничтожаем их.  

• Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух треугольников.  

• Площадь АМЦК равна половине площади всего четырехугольника.  

• Отмечаем середину стороны четырехугольника и соединяем её.  

• Площадь АМЦК равна половине площади всего четырехугольника.  

• Площадь закрашенного треугольника составляет половину площади АМДК.  

• Площадь АМДК равна сумме площадей треугольников АМК и МКД.  

• Треугольники МКЦ и МКД имеют одинаковую площадь и основание.  

• Высоты треугольников равны, что делает их параллелограммом.  

• Стороны параллелограмма параллельны.  

• Доказываем, что МК параллельно ЦД и АБ параллельно МК.  

• Транзитивность отношения параллельности устанавливает, что АБ параллельно ЦД.  

• Перерисовываем четырехугольник без закрашенной части.  

• Проводим отрезки и получаем три треугольника с одинаковыми площадями.  

• Площадь закрашенной части составляет две трети площади всего четырехугольника.  

• Проводим диагональ четырехугольника, разбивая его на два треугольника.  

• Треугольник АBD разбит медианой BE на два равных по площади треугольника.  

• Треугольник CBD разбит медианой BK на два равных по площади треугольника.  

• Площадь четырехугольника BEDK равна половине площади исходного четырехугольника.  

• Отмечаем середины сторон параллелограмма ABCD.  

• Отрезок MS является средней линией треугольника ABC.  

• Средняя линия делит площадь треугольника в отношении 1:3.  

• Треугольники ABM и CNB равны по площади.  

• Площадь треугольника ABR равна площади треугольника CBT.  

• Треугольник ABR занимает четверть площади параллелограмма.  

• Площадь закрашенной фигуры составляет одну пятую часть площади параллелограмма.  

• В треугольнике ABC проведены все медианы.  

• Медианы пересекаются в одной точке и делят друг друга в отношении 2:1.  

• Строим новый треугольник из медиан, используя алгоритм из задачи 9.  

• Соединяем точки, чтобы получить новый треугольник.  

• Площадь треугольника ABC равна 6S.  

• Площадь треугольника OPC равна 1/6S.  

• Площадь треугольника, построенного из медиан, составляет 4.5S.  

• Отношение площади треугольника, построенного из медиан, к площади исходного треугольника равно 3/4.  

• Рассматривается шестиугольник с попарной параллельностью сторон.  

• Доказывается равенство площадей треугольников ABC и ABD.  

• Аналогично доказывается равенство площадей треугольников AFC и AFD.  

• Площадь треугольника ACE состоит из желтого, синего, зеленого и маленького треугольничка.  

• Площадь треугольника BDF также состоит из тех же частей, что и площадь треугольника ACE.  

• Доказательство верно для выпуклого шестиугольника.