14.04.2022 Лекция 16. Критерий Коши сходимости ряда, ряд Дирихле, признаки сравнения, признак Коши

• Обсуждение синтеза и расчетной химии.  

• Воспоминания о школьной химии и нелюбви к органической химии.  

• Переход к обсуждению математики в химии.  

• Введение в простейшие свойства рядов.  

• Обсуждение линейности рядов.  

• Пример с рядами, сходящимися к суммам с и сб.  

• Лемма о монотонности рядов.  

• Доказательство через неравенство частичных сумм.  

• Предельный переход и нестрогость.  

• Определение остатка ряда.  

• Мотивация и примеры.  

• Теоремы о сходимости рядов и остатков.  

• Переход к признакам сравнения для рядов.  

• Сравнение с интегралами и мотивация к изучению признаков сходимости.  

• Рассматриваются ряды с постоянными членами.  

• Обсуждается критерий сходимости рядов.  

• Формулируется общая теорема о сходимости рядов.  

• Последовательность частичных сумм ряда не убывает.  

• Сходимость ряда равносильна ограниченности последовательности частичных сумм.  

• Сумма ряда равна пределу последовательности частичных сумм.  

• Обсуждаются признаки сравнения рядов.  

• Если ряд с общим членом a сходится, то и ряд с общим членом b сходится.  

• Если ряд с общим членом a расходится, то и ряд с общим членом b расходится.  

• Рассматривается ряд 1/n^a.  

• При a больше единицы ряд сходится, при a меньше или равно единице ряд расходится.  

• Используется теорема Лагранжа для доказательства сходимости ряда.  

• Обсуждается существование пограничных рядов.  

• Приводится пример ряда с общим членом a, который расходится при a больше единицы.  

• Делается вывод, что пограничных рядов не существует.  

• Расходящийся ряд можно сделать еще медленнее.  

• Уменьшение общего члена ряда способствует сходимости.  

• Всегда можно уменьшить общий член расходящегося ряда, чтобы он оставался расходящимся.  

• Сходящийся ряд можно сделать более сходящимся.  

• Увеличение членов сходящегося ряда не делает его менее сходящимся.  

• Всегда можно сделать сходящийся ряд более сходящимся или менее сходящимся.  

• Пример с интегралами аналогичен расходящемуся ряду.  

• Можно уменьшить общий член интеграла, чтобы он оставался сходящимся.  

• Всегда можно сделать интеграл более сходящимся или менее сходящимся.  

• Признаки сравнения рядов включают признаки сравнения в предельной форме.  

• Если предел отношения общего члена одного ряда к другому равен числу, то ряды ведут себя одинаково.  

• Если предел равен нулю, то ряд с меньшим общим членом сходится, если сходится ряд с большим общим членом.  

• Признаки Даламбера и Коши являются специальными признаками сходимости рядов.  

• Признак Даламбера: если ряд сходится, то и ряд с общим членом, большим в n-й степени, сходится.  

• Признак Коши: если ряд сходится, то и ряд с общим членом, меньшим в n-й степени, сходится.  

• Верхний предел ряда с общим членом a n может быть больше или меньше единицы.  

• Если предел больше единицы, ряд расходится.  

• Если предел меньше единицы, ряд сходится.  

• Если предел равен единице, требуется дополнительное исследование.  

• Признак Коши не всегда дает ответ на вопрос о сходимости ряда.  

• Множество частичных пределов замкнуто, что позволяет подойти к супремуму по подпоследовательности.  

• Если предел больше единицы, все члены последовательности больше единицы, что противоречит необходимому условию сходимости.  

• Если предел меньше единицы, ряд сходится.  

• Вводится число ку, равное единице минус предел пополам.  

• Все члены последовательности меньше ку, что делает ряд сходящимся как геометрическая прогрессия.  

• Признак Коши не всегда дает ответ на вопрос о сходимости ряда.  

• Примеры рядов, которые сходятся и расходятся при одном и том же пределе.  

• Обсуждение признаков Даламбера и других признаков сходимости знакопостоянных рядов.  

• Переход к знакопеременным рядам в будущем.