Линейная алгебра - Математика для машинного обучения

• Математика важна для машинного обучения, так как программирование связано с математикой.  

• Машинное обучение использует оптимизацию, для понимания которой нужна математика.  

• Машинное обучение является более математической дисциплиной по сравнению с другими областями программирования.  

• Линейная алгебра помогает понять оптимизируемые объекты в машинном обучении.  

• Математический анализ объясняет, как оптимизировать эти объекты.  

• Теория вероятностей и статистика объясняют, что именно оптимизируется.  

• Линейная алгебра — это математика массивов, где массивы представляют собой наборы чисел.  

• В машинном обучении многие объекты представлены массивами: данные, модели, внутренние вычисления.  

• Умножение матриц — основная операция в линейной алгебре для манипулирования массивами.  

• Примеры применения умножения матриц: точечное скалярное произведение, корреляция, линейная и логистическая регрессия, методы оптимизации.  

• Графические процессоры ускоряют машинное обучение благодаря матричному умножению.  

• Матричное умножение преобразует две матрицы в одну с тем же количеством строк и столбцов.  

• Операция включает перемножение элементов строк одной матрицы и столбцов другой, а затем их суммирование.  

• Многие учебники по линейной алгебре фокусируются на алгебраических определениях и манипуляциях с уравнениями.  

• Такой подход может быть сложным и неинтуитивным.  

• Геометрический подход, представленный в серии YouTube от Three Blue One Brown, рассматривает линейную алгебру как изучение линейных преобразований пространств.  

• Существуют другие математические подходы к линейной алгебре, не связанные с уравнительными рассуждениями.  

• Графический подход, появившийся в теории категорий за последние десять лет, предлагает новый взгляд на линейную алгебру.  

• Линейная алгебра рассматривается как альтернатива традиционному подходу, используя схематическое рассуждение.  

• Для специалистов в области программирования и аппаратных средств линейная алгебра более полезна в контексте программирования.  

• Матрицы в линейной алгебре сравниваются с функциями, а умножение матриц — с композицией функций.  

• В программировании функции комбинируются с помощью композиции функций.  

• Пример: функция, проверяющая, не слишком ли длинная строка для твита, объединяет две функции: проверку длины строки и проверку, не превышает ли длина 140.  

• Композиция функций преобразует входные данные одной функции в выходные данные другой.  

• Функции в математике часто представляются с помощью овалов и стрелок, где входные данные находятся в круге, а функция — это стрелка, указывающая на выход.  

• Пример: проверка длины строки «декларация независимости» показывает, что строка слишком длинная для твита.  

• Матрично-векторное умножение аналогично применению функции к данным.  

• Матрица рассматривается как функция, принимающая массивы с определённым количеством строк и выдающая массивы с тем же количеством строк.  

• Пример матрицы: матрица, принимающая массивы длиной k единиц и возвращающая массивы длиной три единицы.  

• Умножение матриц аналогично композиции функций, где каждая матрица применяется к входным данным другой матрицы.  

• Пример: матрица, удаляющая последнюю запись, и матрица, обнуляющая ось y, создают новую функцию, которая преобразует входные данные.  

• Правило умножения матриц обеспечивает истинность композиции функций.  

• Линейная алгебра важна для оптимизации и машинного обучения, так как позволяет представлять функции в виде данных.  

• Традиционные способы представления программ, такие как строки символов или словари, не подходят для количественной оптимизации.  

• Массивы данных и матричное умножение обеспечивают более эффективный способ представления функций.  

• Массивы легко изменять, что позволяет вносить небольшие изменения в функции без значительного влияния на выходные данные.  

• Это делает массивы ценным инструментом для автоматизации процесса оптимизации.  

• Линейная алгебра быстро осваивается и позволяет выполнять множество полезных задач в машинном обучении.  

• Линейная алгебра важна для машинного обучения.  

• Массивы представляют линейные функции.  

• Два правила для линейной функции: f(a + b) = f(a) + f(b) и f(λa) = λf(a).  

• Линейные функции хорошо работают со взвешенными суммами.  

• Можно извлекать знаки «+» и «*» из функциональных приложений.  

• Взвешенные суммы легко анализируются.  

• f(0) = 0 согласно правилу умножения.  

• Если два объекта отправляются в одно и то же место, их разница должна быть отправлена в ноль.  

• Ядро функции — это набор значений, которые преобразуются в ноль.  

• Ранг функции или матрицы определяет, сколько элементов нужно для создания всех возможных элементов, не относящихся к ядру.  

• Элементы, не относящиеся к ядру, могут быть созданы через взвешенные суммы.  

• Разложение по сингулярным значениям эквивалентно рефакторингу программ.  

• Рефакторинг программ улучшает понимание и производительность.  

• Разделение задач и удаление ненужного кода — приёмы рефакторинга.  

• Функция single_is_odd может быть разбита на части для упрощения изменений.  

• Сначала определяется, является ли число чётным или нечётным с помощью mod 2.  

• Затем для каждого значения true или false возвращается соответствующее значение.  

• Mod 2 выбирает представителей для функции, определяя чётные и нечётные значения.  

• Разбиение функции на части упрощает внесение изменений в будущем.  

• Функция работает с двумя входами: чётными и нечётными значениями.  

• Определяются два представителя: для чётных значений и для нечётных.  

• Первый шаг: выбор представителей, которые будут обрабатываться одинаково.  

• Второй шаг: обратимое переименование представителей.  

• Сопоставление каждого представителя с его результатом один к одному.  

• Приведение результатов к нужному типу: строки для отображения пользователю.  

• Каноническая декомпозиция применима к любой функции.  

• Пример с матрицей: функция раскладывается на три функции a, b, c.  

• Диаграмма отражает разложение функции на состав из трёх функций.  

• Матрица C широкая, B квадратная, A высокая.  

• В C по крайней мере столько же столбцов, сколько и строк.  

• В B ровно столько же столбцов, сколько строк.  

• В A по крайней мере столько же строк, сколько столбцов.  

• Сопоставление значений с нулём и единицей.  

• Отбрасывание значений, отправляемых в ноль.  

• Обратимая перемаркировка с помощью B.  

• Входные данные должны иметь тот же размер, что и выходные.  

• Матрицы A и C обычно необратимы.  

• Высокая матрица A находит копии лучей среди массивов.  

• Функция разбивается на три части: сюръекция, биекция и инъекция.  

• Пример с true и false иллюстрирует выбор вариантов.  

• SVD разбивает матрицу на три части.  

• Унитарные матрицы U и V меняют основу и оси.  

• SVD используется для приближения низкого ранга.  

• Матрица с низким рангом имеет простой визуальный паттерн.  

• Пример с видео с камеры видеонаблюдения показывает повторяющийся фон.  

• Полная матрица рангов не содержит простых шаблонов.  

• Низкоуровневое приближение используется для сжатия данных.  

• Формат JPEG основан на низкоуровневом приближении изображений.  

• Разделение переднего плана и фона в видео.  

• Низкоуровневые приближения полезны в науке о данных и машинном обучении.  

• Иногда они применяются для сжатия данных, иногда — для анализа.  

• Умножение матриц имеет широкое применение.  

• Линейная алгебра больше похожа на компьютерное программирование, чем на алгебру.  

• Разложение по сингулярным значениям аналогично рефакторингу в программировании.  

• Для тех, кто плохо помнит линейную алгебру, рекомендуется «Сущность линейной алгебры» от Three Blue, One Brown на YouTube.  

• Книга Пола Собочински полезна для улучшения навыков абстрактной математики.  

• Онлайн-курс «Численная линейная алгебра с помощью fast. искусственный интеллект» с Рэйчел Томас подходит для тех, кто хочет применить знания на практике.  

• Серия лекций Шелдона Экслера «Линейная алгебра, сделанная правильно» основана на классическом подходе и доступна на YouTube.  

• Чарльз благодарит за просмотр и призывает поставить лайк, подписаться на канал и оставить комментарий.