Пример построения графика функции. Асимптоты. (Производная)

• Рассматривается пример построения графика функции y = x^2 / x - 3.  

• Общая схема исследования функции состоит из семи этапов: область определения, четность/нечетность, точки пересечения с осями координат, асимптоты, промежутки монотонности, точки экстремума, промежутки выпуклости, таблица дополнительных значений.  

• Область определения функции: все числа, кроме x = 3.  

• Запись: от -∞ до 3, не включая 3, и от 3 до +∞.  

• Проверка на четность: y = x^2 / x - 3 не является четной.  

• Проверка на нечетность: y = -x^2 / x + 3 не является нечетной.  

• Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.  

• Точка пересечения с осью Ox: x = 0, y = 0.  

• Точка пересечения с осью Oy: y = 0, x = 0.  

• Единственная точка пересечения: 0, 0.  

• Асимптоты: прямые, к которым неограниченно приближается график функции.  

• Вертикальные асимптоты: x = a, где a ограничивает открытые промежутки области определения функции.  

• Наклонные асимптоты: y = kx + b, где k и b находятся по формулам пределов.  

• Вертикальная асимптота: x = 3, так как функция терпит разрыв в точке x = 3.  

• Проверка пределов при стремлении x к 3: справа предел равен +∞, слева предел равен -∞.  

• Прямая x = 3 является вертикальной асимптотой.  

• Наклонная асимптота: y = kx + b, где k и b находятся по формулам пределов.  

• Проверка: k = 0, b = предел y при стремлении x к бесконечности.  

• Наклонная асимптота не найдена.  

• Наклонная асимптота: y = kx + b.  

• Предел функции f от x при x стремящемся к бесконечности.  

• Подставляем функцию: x^2 / x - 3.  

• Делим числитель и знаменатель на x^2.  

• Находим k = 1.  

• Подставляем k = 1 в формулу для b.  

• Приводим к общему знаменателю и находим b = 3.  

• Наклонная асимптота: y = x + 3.  

• Горизонтальных асимптот нет.  

• Вертикальная асимптота: x = 3.  

• Находим производную функции f от x.  

• Приравниваем производную к нулю и находим критические точки.  

• Определяем знаки производной на промежутках.  

• Находим точки экстремума: максимум в точке x = 0 и минимум в точке x = 6.  

• Находим значения y в точках экстремума.  

• Строим график с точками максимума и минимума.  

• Определяем промежутки монотонности функции.  

• Находим вторую производную функции y = x^2 / x - 3.  

• Используем формулу производной числителя и знаменателя.  

• Упрощаем выражение и находим вторую производную.  

• Выносим общие множители и упрощаем выражение.  

• Находим вторую производную: 18 / x - 3^3.  

• Приравниваем вторую производную к нулю и находим критическую точку x = 3.  

• Определяем знак второй производной на интервалах.  

• На интервале от -∞ до 3 вторая производная имеет знак минус.  

• На интервале от 3 до +∞ вторая производная имеет знак плюс.  

• Функция выпукла вверх на интервале от -∞ до 3.  

• Функция выпукла вниз на интервале от 3 до +∞.  

• Точек перегиба нет, так как x = 3 является точкой разрыва.  

• Находим область определения и точки пересечения с осями.  

• Строим вертикальную асимптоту x = 3 и наклонную асимптоту y = x + 3.  

• Определяем промежутки возрастания, убывания, максимума и минимума.  

• Функция выпукла вверх от -∞ до 3 и выпукла вниз от 3 до +∞.  

• Строим таблицу дополнительных значений для точного построения графика.  

• Подставляем значения x и y в таблицу для уточнения графика.  

• При x=2, y= -4.  

• График функции на интервале от -∞ до 3: возрастает, максимум в точке 0,0, убывает до -∞.  

• Функция выпукла вверх.  

• При x=4, y=16.  

• При x=5, y=12.5.  

• При x=6, y=12 минимум.  

• При x=8, y=12.8.  

• При x=10, y=14.3.  

• При x=12, y=16.  

• График уходит в +∞ при x стремящемся к 3 справа.  

• От 3 до 6 график убывает, минимум в точке 6,12.  

• От 6 до +∞ график возрастает, функция выпукла вниз.  

• От -∞ до 0 график возрастает, максимум в 0,0, убывает до 3.  

• В точке 3 разрыв.  

• От 3 до 6 график убывает, минимум в 6,12, возрастает до +∞.  

• На интервалах от -∞ до 3 и от 3 до +∞ функция выпукла вверх и вниз соответственно.  

• График построен в GeoGebra.  

• График выглядит одинаково, но в GeoGebra проведены асимптоты x=3 и y=x+3.  

• Схематический график менее красив, чем построенный в программе.  

• На этом все, всего доброго.