Неравенство Чебышева. Доверительный интервал. ЕГЭ Профиль 2024 Ященко от Абеля

• Рассматриваются две новые темы из сборников по профильной математике ЕГЭ от Ященко.  

• Неравенство Чебышева утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему.  

• Неравенство применимо как к дискретным, так и к непрерывным случайным величинам.  

• Дискретные случайные величины принимают конкретные значения, например, число очков при броске кости.  

• Непрерывные случайные величины могут принимать любые действительные значения, например, температура или диаметр деталей.  

• Вероятность того, что случайная величина отличается от среднего значения больше заданного числа, меньше или равна определенной дроби.  

• Пример задачи: оценить вероятность события, что случайная величина будет меньше или равна 1 и больше или равна 9.  

• Математическое ожидание равно 4, дисперсия равна 10.  

• Оценить вероятность события, что случайная величина будет меньше или равна -1 и больше или равна 9.  

• Решение: вероятность события меньше или равна 0.4.  

• Средний диаметр подшипника равен 15 мм, стандартное отклонение 0.2 мм.  

• Оценить вероятность события, что диаметр подшипника отличается от среднего более чем на 0.5 мм.  

• Решение: вероятность события меньше или равна 0.16.  

• Среднее значение равно 24, стандартное отклонение 0.4.  

• Оценить вероятность события, что отклонение от среднего значения больше 0.8.  

• Решение: вероятность события меньше или равна 0.5.  

• Среднее значение равно 500, стандартное отклонение 40.  

• Оценить вероятность события, что отклонение от среднего значения больше 75.  

• Решение: вероятность события меньше или равна 0.000001.  

• Доверительный интервал - это диапазон значений, вызывающий доверие.  

• Нормальное распределение - это график, показывающий ожидаемое значение и его стандартное отклонение.  

• Примеры: рост мужчин, вес младенцев, средний балл по математике.  

• Рост мужчин: большинство мужчин имеют средний рост 180 см.  

• Вес младенцев: большинство детей имеют средний вес около 3 кг.  

• Средний балл по математике: среднее значение 55.6.  

• Основная часть значений случайной величины концентрируется вокруг среднего значения.  

• Значения на периферии графика маловероятны.  

• Пример: получение 100 баллов по математике маловероятно, но среднее значение 55.5 - гарантировано.  

• В нормальном распределении можно выделить диапазон значений.  

• Пример: на одну сигму вправо и влево лежит 68.26% значений.  

• На две сигмы - 95.46% значений, на три сигмы - почти все значения.  

• Задача: найти интервальную оценку доли горожан, которым не понравился торговый центр.  

• Используем правило: среднее значение плюс-минус одно стандартное отклонение.  

• Формула: вероятность умножить на корень из объема выборки и разделить на объем выборки.  

• Пример: вероятность 0.5, объем выборки 24.  

• Формула: 0.5 умножить на корень из 24 и разделить на 24.  

• Результат: верхняя граница доверительного интервала 0.8.  

• Рассмотрены две темы: доверительный интервал и нормальное распределение.  

• Примеры задач для лучшего понимания.  

• Для сдачи экзаменов важно понимать эти концепции.