Лекции 14-15. Элементы теории корреляции. Уравнения регрессии

• Ученый Жорж Кювье предложил термин "корреляция" для описания взаимосвязи между обликом животного и его образом жизни.  

• Фрэнсис Гальтон предложил использовать термин "корреляция" в математическом смысле и предложил первую модель линейной регрессии.  

• Гальтон изучал связь роста отцов и их детей и обнаружил регрессию к среднему.  

• Коэффициент корреляции - статистическая зависимость двух и более случайных величин.  

• Корреляция может быть положительной или отрицательной, а также может быть функциональной или регрессионной.  

• Корреляционное поле - графическое представление зависимости между двумя переменными.  

• Коэффициент корреляции может быть равен нулю, но это не означает отсутствие взаимосвязи.  

• Метод наименьших квадратов используется для построения прямой, которая максимально удовлетворяет всем точкам.  

• Сумма квадратов отклонений стремится к минимуму, и это экстремум функции.  

• Расписывается функция двух переменных, где сумма игрек и т минус к, икс и т минус б в квадрате.  

• Ищутся экстремы функции, производные от функции по к и б, приравниваются к нулю и находятся такие к и б, чтобы функция прошла максимально хорошо.  

• Ковариация - это математическое ожидание произведения отклонений случайных величин от их математических ожиданий.  

• Коэффициент корреляции Пирсона - это ковариация, деленная на корень квадратный из дисперсии иксов и персии игрек.  

• Коэффициент корреляции имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин.  

• Коэффициент к в уравнении игрек равно к икс плюс б - это ковариация, деленная на дисперсию икса.  

• Коэффициент регрессии - это коэффициент к, подставленный в уравнение.  

• Коэффициент линейной корреляции находится в пределах от минус единицы до единицы.  

• Коэффициент регрессии и коэффициент корреляции могут быть записаны в виде произведения друг на друга.  

• Коэффициент детерминации показывает долю взаимного влияния переменных.  

• Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции может быть проведена для определения, является ли корреляция значимой или нет.  

• Коэффициент корреляции может быть очень слабым, но значимым, или сильным, но не значимым.  

• Приведен пример проверки гипотезы о значимости коэффициента корреляции с уровнем значимости 0.05.  

• Найдены уравнение регрессии и регрессии игрек на икс по данным корреляционной таблицы.  

• Коэффициент корреляции равен 0.73, что указывает на высокую корреляцию.  

• Проверка значимости коэффициента корреляции показала, что он значим.  

• На основе коэффициента корреляции и других данных можно найти уравнение линии регрессии.  

• Обсуждается корреляция для признаков, которые можно измерить количественно, например, рост или вес.  

• Для таких признаков используется линейная корреляция Пирсона.  

• Обсуждается ранговая корреляция для качественных признаков, которые невозможно измерить точно, но которые позволяют сравнивать объекты между собой.  

• Примеры таких признаков: выступление фигуристов, оценка судей.  

• Для оценки степени связи качественных признаков используются коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла.  

• Обсуждается множественная корреляция, когда оценивается связь между несколькими признаками.  

• В этом случае часто применяются полиномиальные модели или переход к логарифмическим координатам.  

• Линейная корреляция считается наиболее предпочтительной для прогнозов.