Релятивистская теория электродинамики: полная история

• Лекция посвящена специальной теории относительности и ее применению к электромагнетизму.  

• Обсуждаются четыре вектора, которые преобразуются в соответствии с операциями полной симметрии группы Пуанкаре.  

• Преобразования Лоренца включают ускорения Лоренца вдоль заданного направления.  

• Скаляры Лоренца - это релятивистские инварианты, одинаковые во всех системах отсчета.  

• Уравнения Максвелла включают эффекты специальной теории относительности.  

• Калибровочные преобразования потенциалов позволяют интерпретировать физические эффекты по-разному в разных инерциальных системах отсчета.  

• Лагранжиан для электромагнетизма строится на основе принципов локальности, лоренц-инвариантности и калибровочной инвариантности.  

• Уравнения движения Эйлера-Лагранжа восстанавливают уравнения Максвелла.  

• Метрический тензор Минковского описывает геометрию плоского пространства-времени в специальной теории относительности.  

• В общей теории относительности метрический тензор имеет более общий вид, описывая искривленное пространство-время.  

• Преобразование Лоренца позволяет изменять инерциальную систему отсчета, связанную с предыдущей системой отсчета только с точки зрения постоянной относительной скорости.  

• Преобразование Лоренца имеет блочно-диагональную структуру и зависит от относительной скорости между системами отсчета.  

• Пример преобразования Лоренца для координаты x в исходной системе отсчета: x = ct, умноженное на лямбда-единицу, минус бета-гамма, плюс x умноженное на лямбда-единицы одиннадцать.  

• В специальной теории относительности, преобразование Лоренца связывает четыре вектора в разных инерциальных системах отсчета.  

• Преобразование Лоренца может быть представлено как матричное произведение, где индексы указывают на контравариантные и ковариантные векторы.  

• Четырехгранный градиент - это производная по отношению к компонентам четырехвектора.  

• Преобразование Лоренца для четырехгранного градиента аналогично преобразованию Лоренца для четырехвектора.  

• Скаляры Лоренца - это объекты, которые одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.  

• Они могут быть получены путем вычисления обобщенного внутреннего произведения между контравариантным и ковариантным векторами.  

• Уравнение непрерывности, описывающее локальное сохранение заряда, должно быть релятивистски инвариантным и выполняться во всех системах отсчета.  

• Уравнение непрерывности можно представить в виде четырехвекторного уравнения, где один из четырех векторов равен плотности заряда, а другой - току.  

• Преобразование Лоренца для четырех токов учитывает относительную скорость между системами отсчета и коэффициент Лоренца.  

• В результате преобразования тока изменяется, что отражает изменение распределения статического заряда при движении относительно системы отсчета.  

• Вводится предположение о форме четырехпотенциального, состоящего из скалярного и векторного потенциалов.  

• Обсуждаются последствия этого предположения, включая связь между магнитным и электрическим полями, калибровочными преобразованиями и уравнениями Максвелла.  

• Вывод уравнения, представляющего собой уравнения Максвелла в четырехвекторной форме, требует конкретной формы уравнений Максвелла и датчика Лоренца.  

• Доказывается, что четырехвекторные потенциалы действительно являются четырехвекторными, и выводятся уравнения Максвелла в четырехвекторной форме.  

• Четырехвекторные потенциалы могут быть преобразованы в соответствии с операциями симметрии группы Пуанкаре.  

• Приводится пример преобразования скалярного потенциала в исходной системе отсчета в четырехпотенциальную форму в другой системе отсчета.  

• В специальной теории относительности, скалярный потенциал в одной системе отсчета смешивается со скалярным и векторным потенциалами в другой системе.  

• Электричество и магнетизм не являются отдельными вещами, а смешиваются вместе.  

• Угловой момент является псевдовектором, который преобразуется при вращении и отражении.  

• Перекрестное произведение двух векторов может быть записано как псевдовектор.  

• Магнитное поле определяется как производная от векторного потенциала посредством скручивания.  

• Магнитное поле является псевдовекторным полем.  

• В электродинамике, электромагнитное поле представлено тензором электромагнитного поля, который включает в себя магнитное и электрическое поля.  

• Тензор электромагнитного поля определяется как антисимметричный тензор с шестью независимыми элементами, которые связаны с тремя составляющими магнитного поля и тремя составляющими электрического поля.  

• Тензор электромагнитного поля является калибровочно-инвариантным, что означает, что он не зависит от выбора калибровки и является наблюдаемой величиной.  

• Калибровочное преобразование тензора электромагнитного поля не изменяет его значения, что подтверждает его калибровочную инвариантность.  

• Электрическое и магнитное поля связаны с производными потенциалов по времени и пространству через тензор электромагнитного поля.  

• При изменении системы отсчета, электрическое и магнитное поля перемешиваются вместе, что связано с математической структурой тензора электромагнитного поля.  

• Тензор электромагнитного поля преобразуется с помощью обычного преобразования Лоренца, чтобы получить выражение для тензора в незагруженной системе отсчета.  

• Тензор поля представляется как матрица 4х4, а тензоры преобразования Лоренца - как матрицы 4х4.  

• В качестве примера, рассмотрим y-составляющую магнитного поля в загрунтованной системе отсчета.  

• В нерелятивистском пределе, значение y приблизительно равно y в исходной системе отсчета.  

• В случае заряженной частицы, движущейся в магнитном поле, сила в незагрунтованной системе отсчета равна qv, умноженному на магнитное поле в направлении y.  

• В основной системе отсчета сила равна q, умноженному на электрическое поле в исходной системе отсчета.  

• В нерелятивистском пределе силы между частицами одинаковы в разных системах отсчета, но в релятивистском случае они могут отличаться.  

• Решение проблемы кванта состоит в том, чтобы рассматривать силу как изменение импульса частицы, а не как абсолютную величину.  

• Уравнения Максвелла могут быть записаны в четырехвекторной форме, что позволяет применять их ко всем системам отсчета.  

• Тождество Бьянки содержит информацию из двух других уравнений Максвелла, включая закон Гаусса и закон Фарадея.  

• Тензор электромагнитного поля содержит информацию об электрическом и магнитном полях.  

• Сокращение индексов тензора электромагнитного поля приводит к скаляру Лоренца, который является релятивистским инвариантом.  

• Внутренняя энергия электромагнитных полей не является скаляром Лоренца и меняется в зависимости от системы отсчета.  

• Энергия, запасенная в электромагнитных полях, является компонентом четырехвекторной системы отсчета, которая изменяется вместе с системой отсчета.  

• В лекции обсуждается лагранжева теория поля для электромагнетизма, основанная на уравнениях Максвелла.  

• Принципы локальности, лоренц-инвариантности и калибровочной инвариантности применяются для построения теории поля.  

• Принципы локальности, лоренц-инвариантности и калибровочной инвариантности являются общими принципами для построения теории поля.  

• Эти принципы применяются к различным теориям в физике, включая электродинамику.  

• Электромагнитный лагранжиан должен быть скаляром Лоренца и калибровочно-инвариантным, чтобы соответствовать принципам локальности, лоренц-инвариантности и калибровочной инвариантности.  

• Электромагнитный лагранжиан включает только скаляры Лоренца и калибровочно-инвариантные объекты.  

• Интеграл по пространству-времени обозначается как интеграл от d до четырех x, где x - четырехмерный вектор.  

• Принцип наименьшего действия говорит о том, что правильная классическая физика получается при минимизации действия.  

• Уравнения движения Эйлера-Лагранжа получаются из релятивистской лагранжевой плотности и условия ds, равное нулю.  

• Уравнения Максвелла получаются из уравнений движения Эйлера-Лагранжа, записанных в релятивистской четырехвекторной форме.  

• Лагранжиан для полей определяется сжатием тензора электромагнитного поля относительно самого себя.  

• Лагранжиан для источников (заряженных частиц или токов) определяется кинетической энергией источников.  

• Связь между электромагнитными полями и источниками должна быть записана в виде обоснованного предположения.  

• В статической ситуации с одной заряженной частицей в электростатическом поле, лагранжиан принимает специфическую форму.  

• Потенциал в электростатике равен минус q, умноженному на электростатический скалярный потенциал phi, рассчитанный в зависимости от положения точечной частицы.  

• В лагранжиане электростатики есть кинетическая энергия и потенциальная энергия, а также свободная часть, которая представляет собой кинетическую энергию плюс q, умноженное на скалярный потенциал.  

• Действие системы - это интеграл от лагранжиана по времени.  

• В электростатическом пределе действие системы равно интегралу от кинетической энергии и потенциальной энергии.  

• В электродинамике плотность заряда rho умножается на скалярный потенциал phi, что дает плотность Лагранжа.  

• В электродинамике плотность Лагранжа должна быть лоренц-инвариантной.  

• Предложено, что плотность Лагранжа равна минус сокращению четырех потенциалов с четырьмя токами, что является лоренц-инвариантным объектом.  

• Уравнения Максвелла получаются из уравнений движения Эйлера-Лагранжа, если плотность Лагранжа соответствует электродинамике.  

• В итоге получается удивительно последовательная картина, включающая в себя тензор электромагнитного поля, четыре потенциала и четыре тока.